Номер 4.18, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.18. Положив в банк на депозит некоторую сумму, вкладчик получил через год 42 000 тг прибыли. Однако он не стал забирать деньги из банка и добавил к ним еще 58 000 тг. Через год на депозите стало 456 000 тг. Сколько тенге было положено в банк первоначально и какой годовой процент прибыли давал банк?

Введем переменные: пусть $S$ — это первоначальная сумма, которую вкладчик положил на депозит в тенге (тг), а $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби (например, для 15% $r = 0.15$).

За первый год прибыль вкладчика составила 42 000 тг. Эта прибыль является результатом начисления процентов на первоначальную сумму $S$. Это можно записать в виде уравнения:
$S \cdot r = 42000$ (1)

К концу первого года сумма на счете стала $S + 42000$ тг. Вкладчик не стал забирать деньги и добавил еще 58 000 тг. Таким образом, сумма на начало второго года составила:
$S_{2} = S + 42000 + 58000 = S + 100000$ тг.

В конце второго года на эту новую сумму $S_{2}$ были начислены проценты по той же ставке $r$, и итоговая сумма на депозите стала 456 000 тг. Составим второе уравнение, используя формулу сложных процентов $S_{final} = S_{initial} \cdot (1+r)$:
$(S + 100000) \cdot (1 + r) = 456000$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения выразим $S$ из первого уравнения: $S = \frac{42000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$\left(\frac{42000}{r} + 100000\right) \cdot (1 + r) = 456000$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$\frac{42000}{r} \cdot 1 + \frac{42000}{r} \cdot r + 100000 \cdot 1 + 100000 \cdot r = 456000$
$\frac{42000}{r} + 42000 + 100000 + 100000r = 456000$
$\frac{42000}{r} + 100000r + 142000 = 456000$

Перенесем свободный член в правую часть и умножим все уравнение на $r$ (поскольку процентная ставка $r$ не может быть равна нулю):
$\frac{42000}{r} + 100000r = 314000$
$42000 + 100000r^2 = 314000r$

Запишем полученное уравнение как стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:
$100000r^2 - 314000r + 42000 = 0$

Для упрощения расчетов сократим все коэффициенты уравнения на 2000:
$50r^2 - 157r + 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-157)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 21 = 24649 - 4200 = 20449$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{20449} = 143$.

Находим два возможных корня уравнения для $r$:
$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{157 + 143}{2 \cdot 50} = \frac{300}{100} = 3$
$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{157 - 143}{2 \cdot 50} = \frac{14}{100} = 0.14$

Первый корень $r_1 = 3$ соответствует процентной ставке 300% годовых, что является нереалистичным условием для банковского депозита. Поэтому мы выбираем второй корень $r_2 = 0.14$, что соответствует 14% годовых.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада $S$, подставив значение $r = 0.14$ в уравнение (1):
$S = \frac{42000}{r} = \frac{42000}{0.14} = \frac{4200000}{14} = 300000$ тг.

Ответ: Первоначально было положено в банк 300 000 тг, а годовой процент прибыли, который давал банк, составлял 14%.