Номер 4.19, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.19. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, второго — в 1,6 раза. После этого при одновременной их работе бассейн стал наполняться за 6 часов. Найдите время наполнения бассейна одним первым насосом до и после ремонта.

Примем весь объем бассейна за 1. Пусть $p_1$ и $p_2$ — это производительности (скорость наполнения) первого и второго насосов до ремонта соответственно, измеряемые в долях бассейна в час.

Из условия задачи известно, что при одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 8 часов. Это означает, что их суммарная производительность составляет $\frac{1}{8}$ бассейна в час. Мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{8}$

После ремонта производительность первого насоса увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза. Новые производительности насосов стали $1.2p_1$ и $1.6p_2$. При их совместной работе бассейн стал наполняться за 6 часов. Это означает, что их новая суммарная производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Составим второе уравнение:

$1.2p_1 + 1.6p_2 = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{8} \\ 1.2p_1 + 1.6p_2 = \frac{1}{6} \end{cases}$

Для решения системы выразим $p_2$ из первого уравнения:

$p_2 = \frac{1}{8} - p_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.2p_1 + 1.6(\frac{1}{8} - p_1) = \frac{1}{6}$

Теперь решим это уравнение относительно $p_1$:

$1.2p_1 + \frac{1.6}{8} - 1.6p_1 = \frac{1}{6}$

$1.2p_1 + 0.2 - 1.6p_1 = \frac{1}{6}$

$-0.4p_1 = \frac{1}{6} - 0.2$

Представим 0.2 в виде дроби $\frac{1}{5}$:

$-0.4p_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$-0.4p_1 = \frac{5}{30} - \frac{6}{30}$

$-0.4p_1 = -\frac{1}{30}$

$0.4p_1 = \frac{1}{30}$

$\frac{4}{10}p_1 = \frac{1}{30}$

$p_1 = \frac{1}{30} \cdot \frac{10}{4} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$

Таким образом, производительность первого насоса до ремонта составляла $\frac{1}{12}$ бассейна в час. Время $t_1$, за которое первый насос мог наполнить бассейн в одиночку до ремонта, является величиной, обратной производительности:

$t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Теперь найдем время наполнения бассейна первым насосом после ремонта. Его новая производительность $p'_1$ равна:

$p'_1 = 1.2 \cdot p_1 = 1.2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1.2}{12} = \frac{1}{10}$

Новая производительность составляет $\frac{1}{10}$ бассейна в час. Время $t'_1$, необходимое для наполнения бассейна после ремонта, равно:

$t'_1 = \frac{1}{p'_1} = \frac{1}{1/10} = 10$ часов.

Ответ: время наполнения бассейна одним первым насосом до ремонта составляет 12 часов, а после ремонта — 10 часов.