Номер 4.25, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.25. Решите неравенство:

1) $ \frac{49 - x^2}{x + 2} > 0 $; 2) $ \frac{x}{4} - \frac{16}{x} < 0 $; 3) $ \frac{5}{2x} - \frac{3}{3 - x} < 0 $; 4) $ \frac{9 - x^2}{x^2 - 16} > 0 $.

1) Решим неравенство $ \frac{49 - x^2}{x + 2} > 0 $.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ 49 - x^2 = 0 \implies (7 - x)(7 + x) = 0 \implies x_1 = 7, x_2 = -7 $.

Нули знаменателя: $ x + 2 = 0 \implies x_3 = -2 $.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($ > $), все точки будут выколотыми. Точки разбивают ось на четыре интервала: $ (-\infty; -7) $, $ (-7; -2) $, $ (-2; 7) $ и $ (7; +\infty) $.

Определим знак выражения $ f(x) = \frac{49 - x^2}{x + 2} $ на каждом интервале.

• При $ x > 7 $ (например, $ x=10 $): $ \frac{49-100}{10+2} = \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ -2 < x < 7 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{49-0}{0+2} = \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ -7 < x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{49-9}{-3+2} = \frac{+}{-} < 0 $.
• При $ x < -7 $ (например, $ x=-10 $): $ \frac{49-100}{-10+2} = \frac{-}{-} > 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $ (-\infty; -7) $ и $ (-2; 7) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -7) \cup (-2; 7) $.

2) Решим неравенство $ \frac{x}{4} - \frac{16}{x} < 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ 4x $. Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $.

$ \frac{x \cdot x}{4x} - \frac{16 \cdot 4}{4x} < 0 $

$ \frac{x^2 - 64}{4x} < 0 $

$ \frac{(x-8)(x+8)}{4x} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x-8)(x+8) = 0 \implies x_1 = 8, x_2 = -8 $.

Нули знаменателя: $ 4x = 0 \implies x_3 = 0 $.

Отметим точки -8, 0, 8 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на интервалы $ (-\infty; -8) $, $ (-8; 0) $, $ (0; 8) $ и $ (8; +\infty) $.

Определим знак выражения $ g(x) = \frac{(x-8)(x+8)}{4x} $ на каждом интервале.

• При $ x > 8 $ (например, $ x=10 $): $ \frac{(+)(+)}{+} > 0 $.
• При $ 0 < x < 8 $ (например, $ x=1 $): $ \frac{(-)(+)}{+} < 0 $.
• При $ -8 < x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{(-)(+)}{-} > 0 $.
• При $ x < -8 $ (например, $ x=-10 $): $ \frac{(-)(-)}{-} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-\infty; -8) $ и $ (0; 8) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -8) \cup (0; 8) $.

3) Решим неравенство $ \frac{5}{2x} - \frac{3}{3 - x} < 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ 2x(3-x) $. ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

$ \frac{5(3-x) - 3(2x)}{2x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 5x - 6x}{2x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 11x}{2x(3-x)} < 0 $

Умножим неравенство на -1, чтобы сделать коэффициенты при $x$ положительными, и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{11x - 15}{2x(x-3)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ 11x - 15 = 0 \implies x_1 = \frac{15}{11} $.

Нули знаменателя: $ 2x = 0 \implies x_2 = 0 $; $ x - 3 = 0 \implies x_3 = 3 $.

Отметим точки 0, $ \frac{15}{11} $, 3 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на интервалы $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{15}{11}) $, $ (\frac{15}{11}; 3) $ и $ (3; +\infty) $.

Определим знак выражения $ h(x) = \frac{11x - 15}{2x(x-3)} $ на каждом интервале.

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(+)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ \frac{15}{11} < x < 3 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(+)}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ 0 < x < \frac{15}{11} $ (например, $ x=1 $): $ \frac{(-)}{(+)(-)} > 0 $.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{(-)}{(-)(-)} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{11x-15}{2x(x-3)} $ больше нуля (знак "+"), что соответствует интервалам, где исходное выражение $ \frac{15-11x}{2x(3-x)} $ меньше нуля. Это $ (0; \frac{15}{11}) $ и $ (3; +\infty) $.

Проверка: В первоначальном неравенстве $ \frac{15 - 11x}{2x(3-x)} < 0 $, знаки на интервалах $ (-\infty; 0), (0; \frac{15}{11}), (\frac{15}{11}, 3), (3, \infty) $ будут $ (+, -, +, -) $. Нам нужны интервалы со знаком "-". Это $ (0; \frac{15}{11}) $ и $ (3; +\infty) $. Ответ совпадает.
Да, моя SVG не совсем верна. Давайте я исправлю логику и SVG.
Исходное неравенство $ \frac{15 - 11x}{2x(3 - x)} < 0 $. Нули те же: $0, \frac{15}{11}, 3$.Проверим знаки для исходного выражения:

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{15-44}{8(3-4)} = \frac{-}{(-)} > 0 $. Знак +.
• При $ \frac{15}{11} < x < 3 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{15-22}{4(3-2)} = \frac{-}{(+)} < 0 $. Знак -.
• При $ 0 < x < \frac{15}{11} $ (например, $ x=1 $): $ \frac{15-11}{2(3-1)} = \frac{+}{(+)} > 0 $. Знак +.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{15+11}{-2(3+1)} = \frac{+}{(-)} < 0 $. Знак -.

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{15}{11}; 3) $.

4) Решим неравенство $ \frac{9 - x^2}{x^2 - 16} > 0 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{(x-4)(x+4)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (3-x)(3+x) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -3 $.

Нули знаменателя: $ (x-4)(x+4) = 0 \implies x_3 = 4, x_4 = -4 $.

Отметим точки -4, -3, 3, 4 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на пять интервалов: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -3) $, $ (-3; 3) $, $ (3; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения $ k(x) = \frac{(3-x)(3+x)}{(x-4)(x+4)} $ на каждом интервале.

• При $ x > 4 $ (например, $ x=5 $): $ \frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0 $.
• При $ 3 < x < 4 $ (например, $ x=3.5 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0 $.
• При $ -3 < x < 3 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0 $.
• При $ -4 < x < -3 $ (например, $ x=-3.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)(-)} > 0 $.
• При $ x < -4 $ (например, $ x=-5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $ (-4; -3) $ и $ (3; 4) $.

Ответ: $ x \in (-4; -3) \cup (3; 4) $.