Номер 4.27, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.27. Постройте график и найдите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -0,5x^2 + 2;$

2) $f(x) = -2x^2 + 4x;$

3) $f(x) = x^2 + 6x + 9;$

4) $f(x) = x^2 - 5x - 10.$

1) $f(x) = -0,5x^2 + 2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$

$y_0 = f(x_0) = f(0) = -0,5 \cdot 0^2 + 2 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью абсцисс $Ox$), решив уравнение $f(x)=0$:

$-0,5x^2 + 2 = 0$

$0,5x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

Построим график функции:

Промежутки знакопостоянства определяем по графику. Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$.

$f(x) > 0$ при $x \in (-2; 2)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $f(x) = -2x^2 + 4x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$

$y_0 = f(x_0) = f(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $f(x)=0$:

$-2x^2 + 4x = 0$

$-2x(x - 2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

Построим график функции:

Из графика видно, что:

$f(x) > 0$ при $x \in (0; 2)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; 2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

3) $f(x) = x^2 + 6x + 9$

Это квадратичная функция. Выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Таким образом, $f(x) = (x+3)^2$.

График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

$y_0 = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Вершина параболы находится в точке $(-3; 0)$.

Найдем нули функции: $f(x)=0 \implies (x+3)^2=0 \implies x=-3$.

Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине. Точка пересечения (касания) с осью $Ox$: $(-3; 0)$.

Точка пересечения с осью $Oy$: $f(0) = 0^2 + 6 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0; 9)$.

Построим график функции:

Функция $f(x) = (x+3)^2$ равна нулю при $x=-3$ и положительна при всех остальных значениях $x$.

$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Не существует значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

4) $f(x) = x^2 - 5x - 10$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2,5$

$y_0 = f(2,5) = (2,5)^2 - 5 \cdot 2,5 - 10 = 6,25 - 12,5 - 10 = -16,25$

Вершина параболы находится в точке $(2,5; -16,25)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 5x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \approx \frac{5 - 8,06}{2} \approx -1,53$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \approx \frac{5 + 8,06}{2} \approx 6,53$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; 0)$.

Построим график функции:

Из графика видно, что:

$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; +\infty)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; \frac{5 + \sqrt{65}}{2})$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; \frac{5 + \sqrt{65}}{2})$.