Номер 4.26, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.26. Решите систему линейных неравенств:

1) $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 5 - 6x, \\ |2x + 4| \ge 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x, \\ |x - 7,4| < 3. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 5 - 6x, \\ |2x + 4| \ge 3; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:
$3x - 2 \ge 5 - 6x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + 6x \ge 5 + 2$
$9x \ge 7$
$x \ge \frac{7}{9}$
Решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{9}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство с модулем:
$|2x + 4| \ge 3$
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$2x + 4 \ge 3$ или $2x + 4 \le -3$
Решим каждое из них:
1) $2x + 4 \ge 3 \implies 2x \ge 3 - 4 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$
2) $2x + 4 \le -3 \implies 2x \le -3 - 4 \implies 2x \le -7 \implies x \le -\frac{7}{2}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}] \cup [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $x \ge \frac{7}{9}$ и ($x \le -\frac{7}{2}$ или $x \ge -\frac{1}{2}$).
Изобразим решения на числовой оси, отметив точки $-\frac{7}{2} = -3,5$, $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{7}{9} \approx 0,78$.

Пересечение решений (показано штриховкой) — это промежуток, где $x \ge \frac{7}{9}$.
Ответ: $[\frac{7}{9}; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x, \\ |x - 7,4| < 3. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:
$7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x$
$7x + 9x \ge 5,3 + 2,2$
$16x \ge 7,5$
$x \ge \frac{7,5}{16} = \frac{15/2}{16} = \frac{15}{32}$
Решение первого неравенства: $x \in [\frac{15}{32}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство с модулем:
$|x - 7,4| < 3$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 < x - 7,4 < 3$
Прибавим 7,4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 7,4 < x < 3 + 7,4$
$4,4 < x < 10,4$
Решение второго неравенства: $x \in (4,4; 10,4)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{15}{32}$ и $4,4 < x < 10,4$.
Заметим, что $\frac{15}{32} = 0,46875$. Так как $0,46875 < 4,4$, то общее решение будет $4,4 < x < 10,4$.
Изобразим решения на числовой оси.

Пересечением решений (показано штриховкой) является интервал от 4,4 до 10,4, не включая концы.
Ответ: $(4,4; 10,4)$.