Номер 4.29, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.29. Постройте окружность, заданную уравнением. Установите, находится ли точка M(-1; 2) внутри круга, ограниченного этой окружностью:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $x^2 + 2x + y^2 = 8;$

3) $x^2 - 2x + y^2 = 24;$

4) $x^2 + y^2 - 2y = 15.$

1) $x^2 + y^2 = 9$

Для построения окружности определим ее центр и радиус. Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ уже представлено в каноническом виде, что эквивалентно $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $O(0; 0)$, а ее радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Чтобы установить, находится ли точка $M(-1; 2)$ внутри круга, нужно проверить, выполняется ли неравенство $(x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2 < R^2$. Подставим координаты точки $M$ и параметры окружности: $(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $5 < 9$. Так как неравенство верно, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(0; 0)$ и радиусом $R=3$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

2) $x^2 + 2x + y^2 = 8$

Приведем уравнение к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, выделив полный квадрат для переменной $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x+1)^2 - 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $(x+1)^2 - 1 + y^2 = 8$ $(x+1)^2 + y^2 = 9$ $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Отсюда центр окружности находится в точке $O(-1; 0)$, а радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = (-1+1)^2 + 2^2 = 0^2 + 4 = 4$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $4 < 9$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(-1; 0)$ и радиусом $R=3$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

3) $x^2 - 2x + y^2 = 24$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полный квадрат для переменной $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x-1)^2 - 1$.

Подставим в исходное уравнение: $(x-1)^2 - 1 + y^2 = 24$ $(x-1)^2 + y^2 = 25$ $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$.

Центр окружности находится в точке $O(1; 0)$, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $8 < 25$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(1; 0)$ и радиусом $R=5$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

4) $x^2 + y^2 - 2y = 15$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полный квадрат для переменной $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y-1)^2 - 1$.

Подставим в исходное уравнение: $x^2 + (y-1)^2 - 1 = 15$ $x^2 + (y-1)^2 = 16$ $(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$.

Центр окружности находится в точке $O(0; 1)$, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - 0)^2 + (2 - 1)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $2 < 16$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(0; 1)$ и радиусом $R=4$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.