Номер 5.3, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.3. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

1) $xy \ge 3$; 2) $xy \le 0,5$; 3) $3xy - 4 \ge 0$; 4) $xy - y \ge 2$.

1) $xy \ge 3$

Чтобы найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $xy \ge 3$, сначала рассмотрим границу этой области, которая задается уравнением $xy = 3$. Это уравнение гиперболы $y = 3/x$ с асимптотами, совпадающими с осями координат. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница области (гипербола) включается в решение и изображается сплошной линией.

Теперь определим, какие области на плоскости удовлетворяют неравенству.

1. Если $x > 0$, неравенство можно переписать как $y \ge 3/x$. Это означает, что для любого положительного $x$ подходят все точки, лежащие на гиперболе и выше нее. Это область "над" ветвью гиперболы в первой четверти.

2. Если $x < 0$, при делении на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \le 3/x$. Это означает, что для любого отрицательного $x$ подходят все точки, лежащие на гиперболе и ниже нее. Это область "под" ветвью гиперболы в третьей четверти.

Можно также использовать метод пробной точки. Например, точка $(2, 2)$ удовлетворяет неравенству ($2 \cdot 2 = 4 \ge 3$), а точка $(1, 1)$ нет ($1 \cdot 1 = 1 < 3$). Следовательно, заштриховываем области "снаружи" от ветвей гиперболы.

Ответ: Искомое множество точек — это область над ветвью гиперболы $y=3/x$ в первой четверти и область под ветвью той же гиперболы в третьей четверти. Границы областей (ветви гиперболы) включаются в множество.

2) $xy \le 0,5$

Границей области является гипербола $xy = 0,5$ или $y = 0,5/x$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница рисуется сплошной линией.

Для определения искомой области возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляем в неравенство: $0 \cdot 0 \le 0,5$, то есть $0 \le 0,5$. Это верное утверждение, значит, точка $(0,0)$ принадлежит искомому множеству.

Следовательно, решением является область, содержащая начало координат. Это вся вторая и четвертая координатные четверти (где произведение $xy$ отрицательно и, очевидно, меньше $0,5$), а также область "между" ветвями гиперболы в первой и третьей четвертях.

Ответ: Искомое множество точек — это область, содержащая начало координат и ограниченная ветвями гиперболы $y=0,5/x$, а также вся вторая и четвертая координатные четверти. Граница области (гипербола) включается в множество.

3) $3xy - 4 \ge 0$

Преобразуем неравенство к более простому виду: $3xy \ge 4 \implies xy \ge 4/3$

Это неравенство полностью аналогично неравенству из пункта 1. Границей области является гипербола $y = (4/3)/x$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница сплошная.

Решением является множество точек, расположенных "снаружи" от ветвей гиперболы.

1. Для $x > 0$: область $y \ge (4/3)/x$ (над ветвью в первой четверти).

2. Для $x < 0$: область $y \le (4/3)/x$ (под ветвью в третьей четверти).

Ответ: Искомое множество точек — это область над ветвью гиперболы $y=(4/3)/x$ в первой четверти и область под ветвью той же гиперболы в третьей четверти. Границы областей (ветви гиперболы) включаются в множество.

4) $xy - y \ge 2$

Вынесем $y$ за скобку, чтобы упростить анализ: $y(x - 1) \ge 2$.

Границей области является кривая $y(x - 1) = 2$, что эквивалентно $y = 2/(x - 1)$. Это уравнение гиперболы, которая получена из гиперболы $y=2/x$ сдвигом на 1 единицу вправо. Асимптотами этой гиперболы являются прямые $x = 1$ (вертикальная) и $y = 0$ (горизонтальная, ось Ox). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница (гипербола) рисуется сплошной линией.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака множителя $(x-1)$:

1. Если $x - 1 > 0$ (то есть $x > 1$), то можно разделить неравенство на $(x-1)$, не меняя знака: $y \ge 2/(x-1)$. Это область, расположенная над правой ветвью гиперболы.

2. Если $x - 1 < 0$ (то есть $x < 1$), то при делении на $(x-1)$ знак неравенства меняется: $y \le 2/(x-1)$. Это область, расположенная под левой ветвью гиперболы.

3. Если $x = 1$, неравенство принимает вид $0 \ge 2$, что неверно. Таким образом, точки на прямой $x=1$ не входят в решение.

Ответ: Искомое множество точек — это область над правой ветвью гиперболы $y=2/(x-1)$ (при $x>1$) и область под левой ветвью той же гиперболы (при $x<1$). Границы областей (ветви гиперболы) включаются в множество.