Номер 5.2, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.2. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

1) $4x + 3y - 5 \le 0$;

2) $2x^2 + 3y - 3x - 1 > 0$;

3) $x^2 - 2y - 3 > 3x$;

4) $0,5x^2 + y - 2x < 1$.

1)

Рассмотрим неравенство $4x + 3y - 5 \le 0$. Для построения множества решений сначала построим граничную линию, которая задается уравнением $4x + 3y - 5 = 0$. Выразим $y$ через $x$: $3y = -4x + 5$ $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$ Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки. Если $x = -1$, то $y = -\frac{4}{3}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Точка $(-1, 3)$. Если $x = 2$, то $y = -\frac{4}{3}(2) + \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(2, -1)$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), граница (прямая) включается в множество решений и изображается сплошной линией. Чтобы определить, какую полуплоскость закрасить, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в исходное неравенство: $4(0) + 3(0) - 5 \le 0 \implies -5 \le 0$. Неравенство верное, значит, искомое множество решений — это полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$.

Ответ: Множество решений — это полуплоскость, расположенная ниже и включая прямую $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$, как показано на рисунке.

2)

Рассмотрим неравенство $2x^2 + 3y - 3x - 1 > 0$. Границей множества решений является кривая $2x^2 + 3y - 3x - 1 = 0$. Выразим $y$ через $x$: $3y = -2x^2 + 3x + 1$ $y = -\frac{2}{3}x^2 + x + \frac{1}{3}$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-\frac{2}{3})} = \frac{3}{4}$ $y_v = -\frac{2}{3}(\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} + \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{8} + \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = -\frac{3}{8} + \frac{13}{12} = \frac{-9+26}{24} = \frac{17}{24} \approx 0.71$. Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}, \frac{17}{24})$. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница (парабола) не включается в множество решений и изображается пунктирной линией. Перепишем неравенство в виде $y > -\frac{2}{3}x^2 + x + \frac{1}{3}$. Это означает, что решением являются все точки, лежащие "выше" параболы. Для проверки возьмем точку $(0, 2)$, которая находится выше вершины. Подставим ее в исходное неравенство: $2(0)^2 + 3(2) - 3(0) - 1 > 0 \implies 5 > 0$. Неравенство верное, значит, искомое множество решений — это область над параболой.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная над параболой $y = -\frac{2}{3}x^2 + x + \frac{1}{3}$, как показано на рисунке.

3)

Рассмотрим неравенство $x^2 - 2y - 3 > 3x$. Преобразуем неравенство, выразив $y$: $x^2 - 3x - 3 > 2y$ $y < \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$ Границей является парабола $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$. Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3/2}{2(1/2)} = \frac{3}{2} = 1.5$ $y_v = \frac{1}{2}(1.5)^2 - \frac{3}{2}(1.5) - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(2.25) - 2.25 - 1.5 = 1.125 - 2.25 - 1.5 = -2.625$. Вершина находится в точке $(1.5, -2.625)$. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница (парабола) изображается пунктирной линией. Из неравенства $y < \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$ следует, что решением являются все точки, лежащие "ниже" параболы. Для проверки возьмем начало координат $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство: $0^2 - 2(0) - 3 > 3(0) \implies -3 > 0$. Неравенство ложное, значит, точка $(0, 0)$ не принадлежит множеству решений. Так как $(0, 0)$ находится "внутри" (выше) параболы, закрашивать нужно область "снаружи" (ниже) параболы.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная ниже параболы $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$, как показано на рисунке.

4)

Рассмотрим неравенство $0.5x^2 + y - 2x < 1$. Выразим $y$: $y < -0.5x^2 + 2x + 1$ Границей является парабола $y = -0.5x^2 + 2x + 1$. Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -0.5). Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-0.5)} = 2$ $y_v = -0.5(2)^2 + 2(2) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$. Вершина находится в точке $(2, 3)$. Неравенство строгое ($<$), поэтому граница (парабола) изображается пунктирной линией. Из неравенства $y < -0.5x^2 + 2x + 1$ следует, что решением являются все точки, лежащие "ниже" параболы. Для проверки возьмем начало координат $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство: $0.5(0)^2 + 0 - 2(0) < 1 \implies 0 < 1$. Неравенство верное, значит, точка $(0, 0)$ принадлежит множеству решений, и нужно закрасить область под параболой.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная ниже параболы $y = -0.5x^2 + 2x + 1$, как показано на рисунке.