Вопросы, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Из точек A(2; 0), B (2; 4), C(2; −3) укажите точки, лежащие выше графика функции:

1) $y = 4 - x;$

2) $y = 4 - x^2.$

2. Из точек A(−2; 0), B (−3; 4), C(−5; 4) укажите точки, принадлежащие кругу с центром в начале координат и радиусом 6.

3. Чем отличается изображение множеств решений строгого неравенства с двумя переменными от решения нестрогого неравенства с двумя переменными?

1. Чтобы определить, лежит ли точка $(x_0; y_0)$ выше графика функции $y = f(x)$, нужно подставить ее абсциссу $x_0$ в уравнение функции и сравнить полученное значение $f(x_0)$ с ординатой точки $y_0$. Если $y_0 > f(x_0)$, то точка лежит выше графика. Проверим данные точки A(2; 0), B(2; 4), C(2; -3).

1) $y = 4 - x$

Вычисляем значение функции при $x=2$: $y = 4 - 2 = 2$.

- Для точки A(2; 0): ордината $0 < 2$, следовательно, точка лежит ниже графика.

- Для точки B(2; 4): ордината $4 > 2$, следовательно, точка лежит выше графика.

- Для точки C(2; -3): ордината $-3 < 2$, следовательно, точка лежит ниже графика.

2) $y = 4 - x^2$

Вычисляем значение функции при $x=2$: $y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0$.

- Для точки A(2; 0): ордината $0 = 0$, следовательно, точка лежит на графике.

- Для точки B(2; 4): ордината $4 > 0$, следовательно, точка лежит выше графика.

- Для точки C(2; -3): ордината $-3 < 0$, следовательно, точка лежит ниже графика.

Ответ: 1) B(2; 4); 2) B(2; 4).

2. Круг с центром в начале координат (0; 0) и радиусом $r=6$ задается неравенством $x^2 + y^2 \le r^2$. Подставив значение радиуса, получаем $x^2 + y^2 \le 6^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 36$. Точка принадлежит кругу, если ее координаты удовлетворяют этому неравенству.

Проверим каждую из заданных точек A(-2; 0), B(-3; 4), C(-5; 4).

- Для точки A(-2; 0): $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$. Неравенство $4 \le 36$ выполняется, следовательно, точка A принадлежит кругу.

- Для точки B(-3; 4): $(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Неравенство $25 \le 36$ выполняется, следовательно, точка B принадлежит кругу.

- Для точки C(-5; 4): $(-5)^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$. Неравенство $41 \le 36$ не выполняется ($41 > 36$), следовательно, точка C не принадлежит кругу.

Ответ: A(-2; 0) и B(-3; 4).

3. Множество решений неравенства с двумя переменными изображается на координатной плоскости как некоторая область. Границей этой области является график соответствующего уравнения (когда знак неравенства заменяется на знак равенства).

Ключевое отличие в изображении множества решений строгого и нестрогого неравенства заключается в том, как изображается эта граничная линия:

- При решении строгого неравенства (например, $y > f(x)$ или $y < f(x)$), точки, лежащие на границе $y = f(x)$, не входят в множество решений. Поэтому границу изображают пунктирной (штриховой) линией.

- При решении нестрогого неравенства (например, $y \ge f(x)$ или $y \le f(x)$), точки, лежащие на границе $y = f(x)$, являются частью множества решений. Поэтому границу изображают сплошной линией.

Ответ: Изображение множества решений строгого неравенства отличается от нестрогого тем, что граница области решений рисуется пунктирной линией, а не сплошной, так как точки на самой границе не являются решениями строгого неравенства.