Номер 4.24, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.24. Имеются три раствора, составленные из трех элементов $A$, $B$ и $C$. В первый раствор входят только элементы $A$ и $B$, массы которых находятся в отношении $1 : 2$, во второй раствор — элементы $B$ и $C$, массы которых находятся в отношении $1 : 3$, в третий раствор — элементы $A$ и $C$, массы которых находятся в отношении $2 : 1$. В каком отношении нужно взять эти растворы, чтобы во вновь полученном растворе содержались элементы $A$, $B$ и $C$, массы которых находятся в отношении $11 : 3 : 8$?

Для решения задачи обозначим массы первого, второго и третьего растворов, которые нужно взять, как $x$, $y$ и $z$ соответственно. Наша цель — найти соотношение $x : y : z$.

Сначала определим массовые доли элементов в каждом из трех исходных растворов.

1. Первый раствор (масса $x$):
Содержит элементы А и В в отношении $1:2$. Общее число частей равно $1+2=3$.
Массовая доля А: $w_A_1 = \frac{1}{3}$
Массовая доля В: $w_B_1 = \frac{2}{3}$
Масса элемента А из первого раствора: $m_{A1} = \frac{1}{3}x$
Масса элемента В из первого раствора: $m_{B1} = \frac{2}{3}x$

2. Второй раствор (масса $y$):
Содержит элементы В и С в отношении $1:3$. Общее число частей равно $1+3=4$.
Массовая доля В: $w_B_2 = \frac{1}{4}$
Массовая доля С: $w_C_2 = \frac{3}{4}$
Масса элемента В из второго раствора: $m_{B2} = \frac{1}{4}y$
Масса элемента С из второго раствора: $m_{C2} = \frac{3}{4}y$

3. Третий раствор (масса $z$):
Содержит элементы А и С в отношении $2:1$. Общее число частей равно $2+1=3$.
Массовая доля А: $w_A_3 = \frac{2}{3}$
Массовая доля С: $w_C_3 = \frac{1}{3}$
Масса элемента А из третьего раствора: $m_{A3} = \frac{2}{3}z$
Масса элемента С из третьего раствора: $m_{C3} = \frac{1}{3}z$

Теперь составим выражения для общих масс элементов А, В и С в конечном растворе, сложив их массы из взятых частей каждого раствора:

Общая масса А: $m_A = m_{A1} + m_{A3} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z$
Общая масса В: $m_B = m_{B1} + m_{B2} = \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y$
Общая масса С: $m_C = m_{C2} + m_{C3} = \frac{3}{4}y + \frac{1}{3}z$

По условию, в полученном растворе массы элементов А, В и С находятся в отношении $11:3:8$. Это означает, что $m_A : m_B : m_C = 11:3:8$. Мы можем составить систему уравнений из этих отношений:

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{11}{3} \implies 3m_A = 11m_B$
$\frac{m_B}{m_C} = \frac{3}{8} \implies 8m_B = 3m_C$

Подставим выражения для $m_A$, $m_B$ и $m_C$ в эти уравнения:

1) $3 \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z \right) = 11 \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right)$
$x + 2z = \frac{22}{3}x + \frac{11}{4}y$
Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:
$12(x + 2z) = 12 \left( \frac{22}{3}x + \frac{11}{4}y \right)$
$12x + 24z = 4 \cdot 22x + 3 \cdot 11y$
$12x + 24z = 88x + 33y$
$76x + 33y - 24z = 0$ (Уравнение I)

2) $8 \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right) = 3 \left( \frac{3}{4}y + \frac{1}{3}z \right)$
$\frac{16}{3}x + 2y = \frac{9}{4}y + z$
Умножим обе части на 12:
$12 \left( \frac{16}{3}x + 2y \right) = 12 \left( \frac{9}{4}y + z \right)$
$4 \cdot 16x + 24y = 3 \cdot 9y + 12z$
$64x + 24y = 27y + 12z$
$64x - 3y - 12z = 0$ (Уравнение II)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с тремя переменными. Решим ее, чтобы найти соотношение между $x$, $y$ и $z$.

Из Уравнения II выразим $z$:
$12z = 64x - 3y$
$z = \frac{64x - 3y}{12}$

Подставим это выражение для $z$ в Уравнение I:
$76x + 33y - 24 \left( \frac{64x - 3y}{12} \right) = 0$
$76x + 33y - 2(64x - 3y) = 0$
$76x + 33y - 128x + 6y = 0$
$-52x + 39y = 0$
$39y = 52x$
Разделим обе части на 13:
$3y = 4x \implies y = \frac{4}{3}x$

Теперь, зная соотношение между $x$ и $y$, найдем $z$ через $x$, подставив $y = \frac{4}{3}x$ в Уравнение II:
$64x - 3\left(\frac{4}{3}x\right) - 12z = 0$
$64x - 4x - 12z = 0$
$60x - 12z = 0$
$12z = 60x$
$z = 5x$

Мы получили соотношения всех масс через $x$: $y = \frac{4}{3}x$ и $z = 5x$.
Искомое отношение масс растворов $x:y:z$ равно:
$x : \frac{4}{3}x : 5x$
Чтобы получить целочисленное отношение, разделим все части на $x$ (при условии $x \neq 0$) и умножим на 3:
$1 : \frac{4}{3} : 5$
$1 \cdot 3 : \frac{4}{3} \cdot 3 : 5 \cdot 3$
$3 : 4 : 15$

Таким образом, для получения требуемого раствора необходимо взять первый, второй и третий растворы в отношении масс $3:4:15$.

Ответ: $3:4:15$.