Номер 4.20, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.20. Два лыжника одновременно вышли со старта с постоянными скоростями по одному маршруту, причем скорость первого составляет $ \frac{7}{6} $ от скорости второго. Вслед за ними через 20 мин отправился третий лыжник, скорость которого 18 км/ч. Третий лыжник догнал второго лыжника на 30 мин раньше, чем первого. Найдите скорость первого и второго лыжников.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго лыжников соответственно, измеряемые в км/ч. Скорость третьего лыжника $v_3 = 18$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость первого лыжника составляет $\frac{7}{6}$ от скорости второго, что можно записать в виде формулы: $v_1 = \frac{7}{6}v_2$.

Первые два лыжника стартовали одновременно, а третий – через 20 минут после них. Переведем это время в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$. Третий лыжник догнал второго на 30 минут раньше, чем первого. Эта разница во времени также должна быть переведена в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.

Рассмотрим момент, когда третий лыжник догоняет второго. Пусть $t$ – это время в часах, которое третий лыжник находился в пути до встречи со вторым. За это время третий лыжник прошел расстояние $S = v_3 \cdot t = 18t$. Второй лыжник к этому моменту был в пути на $\frac{1}{3}$ часа дольше, то есть его время в пути составило $(t + \frac{1}{3})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S = v_2 \cdot (t + \frac{1}{3})$. Поскольку они встретились, пройденные ими расстояния равны. Составим первое уравнение:

$18t = v_2 \cdot (t + \frac{1}{3})$

Теперь рассмотрим момент, когда третий лыжник догоняет первого. Поскольку он догнал первого на $\frac{1}{2}$ часа позже, чем второго, время его движения до встречи с первым составит $(t + \frac{1}{2})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S' = v_3 \cdot (t + \frac{1}{2}) = 18(t + \frac{1}{2})$. Первый лыжник к этому моменту находился в пути $(t + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = (t + \frac{5}{6})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S' = v_1 \cdot (t + \frac{5}{6})$. Приравнивая расстояния, получаем второе уравнение:

$18(t + \frac{1}{2}) = v_1 \cdot (t + \frac{5}{6})$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1$, $v_2$, $t$). Используем известное соотношение $v_1 = \frac{7}{6}v_2$, чтобы свести систему к двум уравнениям с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 18t = v_2(t + \frac{1}{3}) \\ 18(t + \frac{1}{2}) = \frac{7}{6}v_2(t + \frac{5}{6}) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = \frac{18t}{t + \frac{1}{3}}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$18(t + \frac{1}{2}) = \frac{7}{6} \cdot \frac{18t}{t + \frac{1}{3}} \cdot (t + \frac{5}{6})$

Упростим полученное уравнение. Сократим $\frac{18}{6}$:

$18(t + \frac{1}{2}) = 7 \cdot 3 \cdot \frac{t(t + \frac{5}{6})}{t + \frac{1}{3}}$

$18(t + \frac{1}{2}) = 21 \frac{t(t + \frac{5}{6})}{t + \frac{1}{3}}$

Разделим обе части на 3 и умножим на знаменатель $(t + \frac{1}{3})$:

$6(t + \frac{1}{2})(t + \frac{1}{3}) = 7t(t + \frac{5}{6})$

Раскроем скобки:

$6(t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{6}) = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

$6(t^2 + \frac{5}{6}t + \frac{1}{6}) = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

$6t^2 + 5t + 1 = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$t^2 + (\frac{35}{6} - 5)t - 1 = 0$

$t^2 + \frac{5}{6}t - 1 = 0$

Умножим все члены на 6, чтобы избавиться от дроби:

$6t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 13}{12}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень:

$t = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ часа.

Теперь, зная время $t$, мы можем найти скорость второго лыжника $v_2$:

$v_2 = \frac{18t}{t + \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{12}{1} = 12$ км/ч.

Наконец, найдем скорость первого лыжника $v_1$:

$v_1 = \frac{7}{6}v_2 = \frac{7}{6} \cdot 12 = 7 \cdot 2 = 14$ км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника – 14 км/ч, скорость второго лыжника – 12 км/ч.