Номер 4.15, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.15. 1) Из бака, наполненного глицерином, отлили 8 л. Затем долили бак водой и отлили 6 л смеси. После этого вновь долили бак водой, в результате получили смесь, содержащую 68% глицерина. Найдите вместимость бака.

2) Сосуд вместимостью 40 л наполнен чистым спиртом. Из него отлили некоторое количество спирта и долили водой, затем отлили такое же количество смеси. После этого в сосуде осталось 22,5 л чистого спирта. Сколько литров жидкости отливали каждый раз?

1) Пусть вместимость бака равна $V$ литров. Изначально в баке находится $V$ литров глицерина.
Шаг 1: Отлили 8 л глицерина. В баке осталось $(V - 8)$ л глицерина.
Шаг 2: Долили бак водой до полного объема $V$. Теперь в баке $(V - 8)$ л глицерина, 8 л воды. Концентрация глицерина в смеси стала $C_1 = \frac{V - 8}{V}$.
Шаг 3: Отлили 6 л смеси. Количество глицерина в этих 6 л составляет $6 \times C_1 = 6 \times \frac{V - 8}{V}$. Количество глицерина, оставшегося в баке: $(V - 8) - 6 \frac{V - 8}{V} = (V - 8) \left(1 - \frac{6}{V}\right) = \frac{(V - 8)(V - 6)}{V}$.
Шаг 4: Вновь долили бак водой до полного объема $V$. Количество глицерина не изменилось и составляет $\frac{(V - 8)(V - 6)}{V}$. Общий объем смеси снова равен $V$.
Конечная концентрация глицерина составляет 68%, или 0,68. Составим уравнение, приравняв долю глицерина в конечном растворе к 0,68:
$\frac{\frac{(V - 8)(V - 6)}{V}}{V} = 0,68$
$\frac{(V - 8)(V - 6)}{V^2} = 0,68$
$V^2 - 14V + 48 = 0,68V^2$
$0,32V^2 - 14V + 48 = 0$
Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от дробей: $32V^2 - 1400V + 4800 = 0$.
Разделим на 8 для упрощения: $4V^2 - 175V + 600 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-175)^2 - 4 \times 4 \times 600 = 30625 - 9600 = 21025$
$\sqrt{D} = \sqrt{21025} = 145$
$V_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{175 \pm 145}{8}$
$V_1 = \frac{175 + 145}{8} = \frac{320}{8} = 40$
$V_2 = \frac{175 - 145}{8} = \frac{30}{8} = 3,75$
По условию из бака отлили 8 л, значит его вместимость $V$ должна быть больше 8. Корень $V_2 = 3,75$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, вместимость бака равна 40 л.
Ответ: 40 л.

2) Вместимость сосуда известна: $V = 40$ л. Пусть каждый раз отливали $x$ литров жидкости.
Шаг 1: Из полного сосуда со спиртом отлили $x$ л спирта. В сосуде осталось $(40 - x)$ л спирта. Затем сосуд долили водой до 40 л. Концентрация спирта в получившейся смеси стала $C_1 = \frac{40 - x}{40}$.
Шаг 2: Из сосуда отлили $x$ л смеси. Количество спирта в этой порции смеси составляет $x \times C_1 = x \times \frac{40 - x}{40}$.
Количество спирта, оставшегося в сосуде после второго отливания, равно начальному количеству спирта в смеси минус количество отлитого спирта:
$(40 - x) - x \frac{40 - x}{40} = (40 - x) \left(1 - \frac{x}{40}\right) = \frac{(40 - x)(40 - x)}{40} = \frac{(40 - x)^2}{40}$.
По условию, в сосуде осталось 22,5 л чистого спирта. Составим уравнение:
$\frac{(40 - x)^2}{40} = 22,5$
$(40 - x)^2 = 22,5 \times 40$
$(40 - x)^2 = 900$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$40 - x = \pm \sqrt{900}$
$40 - x = \pm 30$
Получаем два возможных решения:
1) $40 - x = 30 \implies x = 40 - 30 = 10$
2) $40 - x = -30 \implies x = 40 + 30 = 70$
Поскольку объем сосуда составляет 40 л, нельзя отлить 70 л жидкости ($x < 40$). Поэтому второй корень не является решением задачи. Единственное подходящее решение $x = 10$.
Ответ: 10 л.