Номер 4.11, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. 1) Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, вторую трубу — на 7 минут. Если открыть обе трубы на 6 мин, то бассейн наполнится на $ \frac{2}{3} $ своего объема. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна только через вторую трубу?

2) Если открыть два крана, то бассейн наполняется за 6 часов. Если открыть только один первый кран, то понадобится на 5 ч больше, если открыть только второй кран. Сколько времени надо для наполнения бассейна через каждый кран?

1)Пусть $v_1$ — производительность (скорость наполнения) первой трубы, а $v_2$ — производительность второй трубы. Объем всего бассейна примем за 1.
Из первого условия "бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, вторую трубу — на 7 минут" следует уравнение:
$12v_1 + 7v_2 = 1$
Из второго условия "если открыть обе трубы на 6 мин, то бассейн наполнится на $\frac{2}{3}$ своего объема" следует второе уравнение:
$6(v_1 + v_2) = \frac{2}{3}$
Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases}12v_1 + 7v_2 = 1 \\6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3}\end{cases}$
Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 6:
$v_1 + v_2 = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Из этого уравнения выразим $v_1$:
$v_1 = \frac{1}{9} - v_2$
Теперь подставим это выражение для $v_1$ в первое уравнение системы:
$12(\frac{1}{9} - v_2) + 7v_2 = 1$
$\frac{12}{9} - 12v_2 + 7v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 5v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 1 = 5v_2$
$\frac{1}{3} = 5v_2$
$v_2 = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$
Таким образом, производительность второй трубы составляет $\frac{1}{15}$ часть бассейна в минуту. Чтобы найти время, за которое вторая труба наполнит весь бассейн, нужно разделить объем (1) на ее производительность:
$T_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/15} = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

2)Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый кран может наполнить бассейн, а $t_2$ — время, за которое это может сделать второй кран. Тогда их производительности (часть бассейна в час) равны $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{1}{t_2}$ соответственно.
Из условия, что оба крана вместе наполняют бассейн за 6 часов, следует, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$. Составим первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$
По второму условию, "если открыть только один первый кран, то понадобится на 5 ч больше, если открыть только второй кран". Это означает, что $t_1$ на 5 часов больше, чем $t_2$. Составим второе уравнение:
$t_1 = t_2 + 5$
Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:
$\frac{1}{t_2 + 5} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(t_2+5)$:
$\frac{t_2 + (t_2 + 5)}{t_2(t_2 + 5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2t_2 + 5}{t_2^2 + 5t_2} = \frac{1}{6}$
Используя правило пропорции, получаем:
$6(2t_2 + 5) = 1(t_2^2 + 5t_2)$
$12t_2 + 30 = t_2^2 + 5t_2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$t_2^2 + 5t_2 - 12t_2 - 30 = 0$
$t_2^2 - 7t_2 - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$
Найдем корни уравнения:
$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2}$
$t_{2,1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_{2,2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Значит, время наполнения бассейна через второй кран равно 10 часов.
Теперь найдем время для первого крана:
$t_1 = t_2 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.
Ответ: первому крану требуется 15 часов, второму — 10 часов.