Номер 4.5, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.5. 1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют задание за 3 ч 45 мин. Первый рабочий, работая один, может выполнить задание на 4 ч быстрее, чем второй рабочий. Сколько времени потребуется каждому рабочему для выполнения этого задания?

2) Один тракторист может вспахать поле на 24 ч быстрее, чем другой тракторист. Если это поле они будут пахать вместе, то работу выполнят за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому трактористу для вспашки поля?

1) Примем весь объем работы за 1. Пусть первый рабочий, работая один, выполняет задание за $x$ часов. По условию, он делает это на 4 часа быстрее, чем второй, значит, второй рабочий выполняет задание за $(x+4)$ часов.
Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ (часть работы в час), а производительность второго — $\frac{1}{x+4}$ (часть работы в час).
Работая вместе, они выполняют задание за 3 ч 45 мин. Переведем это время в часы: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75 \text{ ч} = \frac{15}{4}$ ч.
Их совместная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.
Также совместная производительность равна $1$ (вся работа), деленная на время совместной работы: $1 / \frac{15}{4} = \frac{4}{15}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$15(2x+4) = 4(x^2+4x)$
$30x + 60 = 4x^2 + 16x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$2x^2 - 7x - 30 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Поскольку время не может быть отрицательным, корень $x_2$ не подходит.
Таким образом, время выполнения задания первым рабочим составляет $x = 6$ часов.
Время выполнения задания вторым рабочим составляет $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.
Ответ: первому рабочему потребуется 6 часов, а второму — 10 часов.

2) Примем все поле за 1. Пусть первый (более быстрый) тракторист вспахивает поле за $x$ часов. По условию, он делает это на 24 часа быстрее, чем второй, значит, второй тракторист вспахивает поле за $(x+24)$ часов.
Производительность первого тракториста составляет $\frac{1}{x}$ (часть поля в час), а второго — $\frac{1}{x+24}$ (часть поля в час).
Работая вместе, они вспахивают поле за 35 часов.
Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$.
С другой стороны, совместная производительность равна $1/35$ (часть поля в час).
Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$35(2x+24) = 1(x^2+24x)$
$70x + 840 = x^2 + 24x$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$
$x^2 - 46x - 840 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476$.
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 74}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 74}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14$
Время не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2$ не является решением задачи.
Следовательно, время работы первого тракториста составляет $x = 60$ часов.
Время работы второго тракториста составляет $x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.
Ответ: первому трактористу потребуется 60 часов, а второму — 84 часа.