Вопросы, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какого вида задачи можно решить, составив систему двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

2. Какие величины (искомые или неизвестные) следует обозначить буквами, чтобы решить задачу с помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

3. Всегда ли решение системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными, с помощью которой решали задачу, является ответом на вопрос задачи?

1. Какого вида задачи можно решить, составив систему двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

С помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными можно решать задачи, в которых зависимость между двумя искомыми величинами является нелинейной. Это означает, что в математической модели задачи (в уравнениях) переменные могут быть в степени, отличной от первой, являться произведением друг друга, или находиться в знаменателе дроби.

Типичные примеры таких задач:

• Геометрические задачи: задачи на нахождение сторон, периметров или площадей фигур, где применяются формулы площади или теорема Пифагора. Например, найти катеты $a$ и $b$ прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза $c$ и площадь $S$. Математическая модель будет системой нелинейных уравнений: $ \begin{cases} a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{1}{2} a \cdot b = S \end{cases} $

• Задачи на движение: задачи, в которых скорости, время или расстояния связаны нелинейно. Например, два тела движутся навстречу друг другу. Если переменными являются их скорости ($v_1$, $v_2$) или время движения, уравнения могут содержать произведения этих переменных или переменные в знаменателе ($t = S/v$).

• Задачи на совместную работу: задачи, связанные с производительностью труда. Если $x$ и $y$ — производительности двух рабочих, то их совместная производительность равна $x+y$. Время выполнения определенного объема работы $A$ равно $A/p$, что приводит к уравнениям с переменными в знаменателе.

• Задачи на свойства чисел: найти два числа, если известны, например, сумма их квадратов и их произведение, или их сумма и сумма их обратных величин.

Ответ: Задачи, в которых взаимосвязь между двумя неизвестными величинами описывается нелинейными соотношениями, например, геометрические задачи (связанные с площадями, теоремой Пифагора), задачи на движение, на совместную работу и задачи на нахождение чисел по их свойствам.

2. Какие величины (искомые или неизвестные) следует обозначить буквами, чтобы решить задачу с помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

При составлении математической модели для решения задачи буквами (переменными, например, $x$ и $y$) чаще всего обозначают искомые величины — те, которые требуется найти в ответе на вопрос задачи. Это самый естественный и прямой подход.

Однако иногда для упрощения вида уравнений в системе удобнее ввести переменные для других неизвестных величин, которые не являются искомыми напрямую. Такие переменные называют вспомогательными. Например, в задаче на движение искомыми могут быть скорости, а в качестве переменных для уравнений можно выбрать время движения. После нахождения значений вспомогательных переменных, необходимо выполнить дополнительные вычисления, чтобы найти те величины, о которых спрашивается в задаче.

Выбор переменных зависит от конкретной задачи и цели сделать уравнения как можно более простыми для решения.

Ответ: Буквами следует обозначать, как правило, искомые величины. В некоторых случаях для удобства составления уравнений можно вводить вспомогательные переменные для других неизвестных величин, через которые потом находятся искомые.

3. Всегда ли решение системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными, с помощью которой решали задачу, является ответом на вопрос задачи?

Нет, не всегда. Решение системы уравнений — это набор пар чисел (например, $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ...$), которые удовлетворяют обоим уравнениям математически. Однако не все эти пары чисел могут быть осмысленным ответом на вопрос исходной задачи. Поэтому после нахождения всех математических решений системы обязательным шагом является их анализ и проверка на соответствие условиям задачи.

Решение системы может не быть ответом на задачу по нескольким причинам:

• Посторонние корни, не соответствующие физическому смыслу. Если переменная обозначает величину, которая по своей природе может быть только положительной (например, длина, скорость, время, масса, площадь), то все отрицательные или нулевые решения для этой переменной должны быть отброшены.

• Несоответствие типу величины. Если в задаче требуется найти количество объектов (людей, машин, деталей), то ответ должен быть целым положительным числом. Любые дробные или иррациональные решения являются посторонними.

• Несоответствие дополнительным условиям. В задаче могут быть неявные или явные ограничения, не включенные в уравнения (например, "скорость одного объекта была больше скорости другого"). Решения, нарушающие эти ограничения, не подходят.

• Найдены значения вспомогательных переменных. Если переменные обозначали не искомые величины, то найденные числа — это не ответ, а промежуточный результат, который нужно использовать для вычисления окончательного ответа.

Ответ: Нет, не всегда. Полученные при решении системы уравнений пары чисел необходимо проверить на соответствие условиям и смыслу задачи. Некоторые решения могут быть посторонними, так как не имеют смысла в контексте задачи (например, отрицательная длина или дробное количество людей).