Номер 3.39, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.39. Решите неравенство:

1) $0.4x (3x - 1) - x - 1.1 < 1.2x (x - 3);$

2) $4 + 0.2x (x - 1) - x (0.2x + 0.5) < 0.6x;$

3) $15y^2 - 12y - 30 > 10y + 7;$

4) $(y + 0.6) \cdot (y + 1.6) \cdot (1.2 - y) > 0.$

1) $0,4x(3x - 1) - x - 1,1 < 1,2x(x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$0,4x \cdot 3x - 0,4x \cdot 1 - x - 1,1 < 1,2x \cdot x - 1,2x \cdot 3$

$1,2x^2 - 0,4x - x - 1,1 < 1,2x^2 - 3,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$1,2x^2 - 1,4x - 1,1 < 1,2x^2 - 3,6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$1,2x^2 - 1,2x^2 - 1,4x + 3,6x - 1,1 < 0$

$2,2x - 1,1 < 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$2,2x < 1,1$

$x < \frac{1,1}{2,2}$

$x < 0,5$

Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; 0,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

2) $4 + 0,2x(x - 1) - x(0,2x + 0,5) < 0,6x$

Сначала раскроем скобки:

$4 + 0,2x \cdot x + 0,2x \cdot (-1) - x \cdot 0,2x - x \cdot 0,5 < 0,6x$

$4 + 0,2x^2 - 0,2x - 0,2x^2 - 0,5x < 0,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$4 + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-0,2x - 0,5x) < 0,6x$

$4 - 0,7x < 0,6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы оставим в левой:

$4 < 0,6x + 0,7x$

$4 < 1,3x$

Разделим обе части на 1,3 (так как 1,3 > 0, знак неравенства не меняется), чтобы выразить $x$:

$x > \frac{4}{1,3}$

Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x > \frac{40}{13}$

Решение неравенства — интервал $(\frac{40}{13}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{40}{13}; +\infty)$.

3) $15y^2 - 12y - 30 > 10y + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство вида $ay^2+by+c > 0$:

$15y^2 - 12y - 10y - 30 - 7 > 0$

$15y^2 - 22y - 37 > 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15y^2 - 22y - 37 = 0$ с помощью дискриминанта.

$a=15$, $b=-22$, $c=-37$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704$.

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 52}{2 \cdot 15} = \frac{-30}{30} = -1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 52}{2 \cdot 15} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15}$

Графиком функции $f(y) = 15y^2 - 22y - 37$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=15 > 0$). Следовательно, значения функции больше нуля ($f(y) > 0$) при значениях $y$, находящихся вне интервала между корнями. Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в решение.

Изобразим решение на числовой оси:

Неравенство выполняется на интервалах, где стоит знак «+».

Таким образом, решение: $y < -1$ или $y > \frac{37}{15}$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1) \cup (\frac{37}{15}; +\infty)$.

4) $(y + 0,6) \cdot (y + 1,6) \cdot (1,2 - y) > 0$

Это неравенство решим методом интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю:

$(y + 0,6)(y + 1,6)(1,2 - y) = 0$

Корнями являются $y_1 = -0,6$, $y_2 = -1,6$, $y_3 = 1,2$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-1,6$, $-0,6$, $1,2$. Так как неравенство строгое, точки на оси будут выколотыми.

Определим знаки выражения $f(y) = (y + 0,6)(y + 1,6)(1,2 - y)$ в каждом из получившихся интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(1,2; +\infty)$, например $y=2$:

$f(2) = (2 + 0,6)(2 + 1,6)(1,2 - 2) = (2,6)(3,6)(-0,8) < 0$.

Значит, в крайнем правом интервале выражение отрицательно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Изобразим знаки на числовой оси:

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Из рисунка видно, что это интервалы $(-\infty; -1,6)$ и $(-0,6; 1,2)$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.