Номер 3.33, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы уравнений (3.33—3.37):

3.33. 1) $\begin{cases} (z-1) \cdot (y-1) = 1, \\ zy \cdot (z+y) = 16; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (z-2) \cdot (y-2) = 4, \\ zy + z^2 + y^2 = 3. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}(z-1)(y-1) = 1 \\zy(z+y) = 16\end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$zy - z - y + 1 = 1$

Вынесем общий множитель и упростим:

$zy - (z+y) = 0$

Отсюда получаем важное соотношение: $zy = z+y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы, заменив $(z+y)$ на $zy$:

$zy \cdot zy = 16$

$(zy)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что $zy$ может принимать два значения:

$zy = 4$ или $zy = -4$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $zy = 4$.

Поскольку $z+y = zy$, то и $z+y = 4$. Таким образом, мы имеем систему:

$\begin{cases}z+y = 4 \\zy = 4\end{cases}$

По обратной теореме Виета, $z$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (z+y)t + zy = 0$. Подставив наши значения, получим:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это полный квадрат: $(t-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень (кратности 2): $t=2$. Значит, $z=2$ и $y=2$.

Случай 2: $zy = -4$.

Аналогично, $z+y = -4$. Получаем систему:

$\begin{cases}z+y = -4 \\zy = -4\end{cases}$

Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-4)t + (-4) = 0$.

$t^2 + 4t - 4 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам две пары решений, так как система симметрична относительно $z$ и $y$:

$z = -2 + 2\sqrt{2}, y = -2 - 2\sqrt{2}$ и $z = -2 - 2\sqrt{2}, y = -2 + 2\sqrt{2}$.

Объединяя все найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $(2, 2)$, $(-2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2})$, $(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}(z-2)(y-2) = 4 \\zy + z^2 + y^2 = 3\end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$zy - 2z - 2y + 4 = 4$

$zy - 2(z+y) = 0$

Отсюда $zy = 2(z+y)$.

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата суммы: $z^2 + y^2 = (z+y)^2 - 2zy$.

$zy + ((z+y)^2 - 2zy) = 3$

$(z+y)^2 - zy = 3$

Сделаем замену переменных. Пусть $S = z+y$ и $P = zy$. Система примет вид:

$\begin{cases}P = 2S \\S^2 - P = 3\end{cases}$

Подставим выражение для $P$ из первого уравнения во второе:

$S^2 - 2S = 3$

$S^2 - 2S - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $S$. По теореме Виета, корни $S_1=3$ и $S_2=-1$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $S = 3$.

Тогда $z+y = 3$. Из $P=2S$ следует $P = zy = 2 \cdot 3 = 6$.

Ищем $z$ и $y$ из системы $z+y=3, zy=6$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $S = -1$.

Тогда $z+y = -1$. Из $P=2S$ следует $P = zy = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ищем $z$ и $y$ из системы $z+y=-1, zy=-2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$.

Это уравнение можно разложить на множители: $(t+2)(t-1) = 0$.

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Это дает две пары решений для $(z,y)$: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(1, -2)$, $(-2, 1)$.