Номер 3.31, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.31. 1)

$\begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^3 - 7x = z^3 - 7z, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 2zx = 5z^2 - 2, \\ 3x^2 + 2xz + z^2 = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0; \end{cases} $

Сначала рассмотрим второе уравнение: $2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0$.
Это однородное уравнение второй степени. Если $z = 0$, то $2x^2 = 0$, следовательно $x = 0$. Пара $(0, 0)$ является решением второго уравнения. Подставим в первое: $0^3 - 0 = 0^3 - 0$, что верно. Значит, $(0, 0)$ — одно из решений системы.

Если $z \neq 0$, разделим второе уравнение на $z^2$:
$2\left(\frac{x}{z}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{z}\right) + 2 = 0$.
Пусть $t = \frac{x}{z}$. Получаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5+3}{4} = 2$.
Таким образом, мы имеем два случая: $\frac{x}{z} = \frac{1}{2}$ (то есть $z = 2x$) или $\frac{x}{z} = 2$ (то есть $x = 2z$).

Теперь преобразуем первое уравнение: $x^3 - z^3 - x + z = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2) - (x-z) = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2 - 1) = 0$
Отсюда следует, что либо $x-z=0$ (то есть $x=z$), либо $x^2 + xz + z^2 - 1 = 0$.

Теперь рассмотрим комбинации полученных условий.
Случай 1: $x=z$. Подставив это в $x=2z$ или $z=2x$, получаем $z=2z$ или $z=2z$, что дает $z=0$, и следовательно $x=0$. Это уже найденное решение $(0,0)$.

Случай 2: $x=2z$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Подставляем $x=2z$ во второе условие:
$(2z)^2 + (2z)z + z^2 = 1$
$4z^2 + 2z^2 + z^2 = 1$
$7z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow z = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Если $z = \frac{1}{\sqrt{7}}$, то $x = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
Если $z = -\frac{1}{\sqrt{7}}$, то $x = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Получаем решения: $(\frac{2}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{2}{\sqrt{7}}, -\frac{1}{\sqrt{7}})$.

Случай 3: $z=2x$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Подставляем $z=2x$ во второе условие:
$x^2 + x(2x) + (2x)^2 = 1$
$x^2 + 2x^2 + 4x^2 = 1$
$7x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Если $x = \frac{1}{\sqrt{7}}$, то $z = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
Если $x = -\frac{1}{\sqrt{7}}$, то $z = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Получаем решения: $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{7}}, -\frac{2}{\sqrt{7}})$.

Ответ: $(0,0)$, $(\frac{2\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{7}}{7})$, $(-\frac{2\sqrt{7}}{7}, -\frac{\sqrt{7}}{7})$, $(\frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7})$, $(-\frac{\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - 7x = z^3 - 7z, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение: $x^3 - z^3 - 7x + 7z = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2) - 7(x-z) = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2 - 7) = 0$
Отсюда либо $x-z=0$ (то есть $x=z$), либо $x^2+xz+z^2-7=0$.

Случай 1: $x=z$.
Подставим это во второе уравнение системы: $x^2 - x^2 = 3$, что приводит к $0=3$. Это неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x^2+xz+z^2=7$.
Теперь мы имеем новую систему: $ \begin{cases} x^2 + xz + z^2 = 7, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $x^2 = z^2+3$. Подставим в первое: $(z^2+3) + xz + z^2 = 7$
$2z^2 + xz - 4 = 0 \Rightarrow xz = 4-2z^2$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2z^2 = (4-2z^2)^2$.
Подставим $x^2=z^2+3$:
$(z^2+3)z^2 = 16-16z^2+4z^4$
$z^4+3z^2 = 16-16z^2+4z^4$
$3z^4 - 19z^2 + 16 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $z$. Пусть $u=z^2$: $3u^2 - 19u + 16 = 0$.
Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 361 - 192 = 169 = 13^2$.
$u_1 = \frac{19+13}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$ и $u_2 = \frac{19-13}{6} = 1$.
Значит, $z^2 = \frac{16}{3}$ или $z^2 = 1$.

Если $z^2=1$, то $z=\pm 1$. Тогда $x^2=z^2+3=4$, откуда $x=\pm 2$. Из уравнения $xz=4-2z^2=4-2(1)=2$ следует, что $x$ и $z$ должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, решениями являются $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Если $z^2=\frac{16}{3}$, то $z=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}$. Тогда $x^2=z^2+3=\frac{16}{3}+3=\frac{25}{3}$, откуда $x=\pm\frac{5}{\sqrt{3}}$. Из уравнения $xz=4-2z^2=4-2(\frac{16}{3})=4-\frac{32}{3}=-\frac{20}{3}$ следует, что $x$ и $z$ должны иметь разные знаки. Следовательно, решениями являются $(\frac{5}{\sqrt{3}}, -\frac{4}{\sqrt{3}})$ и $(-\frac{5}{\sqrt{3}}, \frac{4}{\sqrt{3}})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0; \end{cases} $

Первое уравнение, как и в задаче 1, преобразуется к виду $(x-z)(x^2+xz+z^2-1)=0$. Это означает, что либо $x=z$, либо $x^2+xz+z^2=1$.

Второе уравнение $2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0$ является однородным. Если $z \neq 0$, разделим на $z^2$: $2(\frac{x}{z})^2 - 5(\frac{x}{z}) + 3 = 0$. Пусть $t=\frac{x}{z}$: $2t^2-5t+3=0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $t_1 = \frac{5-1}{4}=1$ и $t_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$. Следовательно, $\frac{x}{z}=1$ (то есть $x=z$) или $\frac{x}{z}=\frac{3}{2}$ (то есть $2x=3z$).

Случай 1: $x=z$.
Это условие удовлетворяет и первому, и второму уравнению. Подставим $x=z$ в систему:
$z^3-z = z^3-z$ (верно для любого $z$)
$2z^2-5z(z)+3z^2 = 2z^2-5z^2+3z^2 = 0$ (верно для любого $z$)
Таким образом, любая пара $(k, k)$, где $k \in \mathbb{R}$, является решением системы.

Случай 2: $2x=3z$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Из $2x=3z$ имеем $x=\frac{3}{2}z$. Подставим в другое уравнение: $(\frac{3}{2}z)^2 + (\frac{3}{2}z)z + z^2 = 1$
$\frac{9}{4}z^2 + \frac{3}{2}z^2 + z^2 = 1$
$9z^2 + 6z^2 + 4z^2 = 4$
$19z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = \frac{4}{19} \Rightarrow z = \pm\frac{2}{\sqrt{19}}$.
Если $z=\frac{2}{\sqrt{19}}$, то $x=\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}}$.
Если $z=-\frac{2}{\sqrt{19}}$, то $x=-\frac{3}{\sqrt{19}}$.
Получаем решения: $(\frac{3}{\sqrt{19}}, \frac{2}{\sqrt{19}})$ и $(-\frac{3}{\sqrt{19}}, -\frac{2}{\sqrt{19}})$.

Ответ: $(k, k)$ для любого $k \in \mathbb{R}$; $(\frac{3\sqrt{19}}{19}, \frac{2\sqrt{19}}{19})$; $(-\frac{3\sqrt{19}}{19}, -\frac{2\sqrt{19}}{19})$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2zx = 5z^2 - 2, \\ 3x^2 + 2xz + z^2 = 2. \end{cases} $

Это система двух неоднородных квадратных уравнений. Чтобы избавиться от свободных членов, сложим оба уравнения: $(x^2 - 2zx - 5z^2) + (3x^2 + 2xz + z^2) = -2 + 2$
$4x^2 - 4z^2 = 0$
$x^2 = z^2$
Отсюда следует, что либо $x=z$, либо $x=-z$.

Случай 1: $x=z$.
Подставим это во второе уравнение исходной системы: $3(z)^2 + 2(z)z + z^2 = 2$
$3z^2 + 2z^2 + z^2 = 2$
$6z^2 = 2 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow z = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $x=z$, получаем два решения: $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Случай 2: $x=-z$.
Подставим это во второе уравнение исходной системы: $3(-z)^2 + 2(-z)z + z^2 = 2$
$3z^2 - 2z^2 + z^2 = 2$
$2z^2 = 2 \Rightarrow z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm 1$.
Если $z=1$, то $x=-1$.
Если $z=-1$, то $x=1$.
Получаем еще два решения: $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

Проверим все решения, подставив их в первое уравнение $x^2 - 2zx = 5z^2 - 2$.
Для $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$: $\frac{1}{3} - 2(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$ и $5(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{5-6}{3} = -\frac{1}{3}$. Верно.
Для $(-1, 1)$: $(-1)^2 - 2(1)(-1) = 1+2=3$ и $5(1)^2 - 2 = 3$. Верно.
Остальные решения также верны из-за симметрии.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$.