Номер 3.34, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.34. 1)

$\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} + xy = 5, \\ \frac{6(x - y)}{x + y} + xy = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{1}{xy} + \frac{1}{x + y} = 0.5, \\ xy^2 + x^2y = -2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{2}{z} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{z}{2} + \frac{3}{y} = 1.5; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} zy - \frac{y}{z} = 0.5, \\ zy - \frac{z}{y} = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + xy = 5 \\ \frac{6(x-y)}{x+y} + xy = 4 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{x+y}{x-y}$ и $b = xy$. Тогда $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{a}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ \frac{6}{a} + b = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 5 - a$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{6}{a} + 5 - a = 4$

$\frac{6}{a} - a + 1 = 0$

Умножим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что выполняется, так как $x+y \neq 0$ в исходной системе):

$6 - a^2 + a = 0$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -6$, $a_1 + a_2 = 1$. Корни: $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 3$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 3 = 2$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x - 3y \implies 4y = 2x \implies x = 2y$.

Подставим во второе уравнение: $(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $a = -2$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - (-2) = 7$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = -2 \\ xy = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x+y = -2(x-y) \implies x+y = -2x + 2y \implies 3x = y$.

Подставим во второе уравнение: $x(3x) = 7 \implies 3x^2 = 7 \implies x^2 = \frac{7}{3}$. Отсюда $x_3 = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$, $x_4 = -\sqrt{\frac{7}{3}} = -\frac{\sqrt{21}}{3}$.

Если $x_3 = \frac{\sqrt{21}}{3}$, то $y_3 = 3 \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = \sqrt{21}$.

Если $x_4 = -\frac{\sqrt{21}}{3}$, то $y_4 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{3}) = -\sqrt{21}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \sqrt{21})$ и $(-\frac{\sqrt{21}}{3}, -\sqrt{21})$.

Ответ: $(2, 1); (-2, -1); (\frac{\sqrt{21}}{3}, \sqrt{21}); (-\frac{\sqrt{21}}{3}, -\sqrt{21})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{xy} + \frac{1}{x+y} = 0,5 \\ xy^2 + x^2y = -2 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, вынеся общий множитель $xy$: $xy(y+x) = -2$.

Введем новые переменные. Пусть $a = xy$ и $b = x+y$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0,5 \\ ab = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = -\frac{2}{b}$ (при $b \neq 0$). Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{-2/b} + \frac{1}{b} = 0,5$

$-\frac{b}{2} + \frac{1}{b} = 0,5$

Умножим обе части на $2b$ (при $b \neq 0$, что выполняется, так как $x+y \neq 0$ в исходной системе):

$-b^2 + 2 = b$

$b^2 + b - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 1$.

Тогда $a = -\frac{2}{1} = -2$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Следовательно, решениями являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $b = -2$.

Тогда $a = -\frac{2}{-2} = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x+y = -2 \\ xy = 1 \end{cases}$

Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-2)t + 1 = 0 \implies t^2 + 2t + 1 = 0 \implies (t+1)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень $t = -1$. Следовательно, $x = y = -1$.

Получили еще одно решение: $(-1, -1)$.

Ответ: $(2, -1); (-1, 2); (-1, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2}{z} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{z}{2} + \frac{3}{y} = 1,5 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{y}{3}$ и $b = \frac{z}{2}$. Тогда $\frac{2}{z} = \frac{1}{b}$ и $\frac{3}{y} = \frac{1}{a}$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{1}{b} + a = 3 \\ b + \frac{1}{a} = 1,5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\frac{1}{b} = 3-a$, откуда $b = \frac{1}{3-a}$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{3-a} + \frac{1}{a} = 1,5$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{a + (3-a)}{a(3-a)} = 1,5 \implies \frac{3}{3a-a^2} = 1,5$.

$3 = 1,5(3a-a^2) \implies 3 = 4,5a - 1,5a^2$.

Умножим на 2: $6 = 9a - 3a^2 \implies 3a^2 - 9a + 6 = 0$.

Разделим на 3: $a^2 - 3a + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a=1$.

Тогда $b = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{y}{3} = 1 \implies y = 3$.

$\frac{z}{2} = \frac{1}{2} \implies z = 1$.

Получили решение $(y, z) = (3, 1)$.

Случай 2: $a=2$.

Тогда $b = \frac{1}{3-2} = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{y}{3} = 2 \implies y = 6$.

$\frac{z}{2} = 1 \implies z = 2$.

Получили решение $(y, z) = (6, 2)$.

Ответ: $(y, z) \in \{(3, 1); (6, 2)\}$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} zy - \frac{y}{z} = 0,5 \\ zy - \frac{z}{y} = 2 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = zy$ и $b = \frac{y}{z}$. Тогда $\frac{z}{y} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a - b = 0,5 \\ a - \frac{1}{b} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = b + 0,5$. Подставим во второе уравнение:

$(b + 0,5) - \frac{1}{b} = 2$

$b - 1,5 - \frac{1}{b} = 0$

Умножим на $b$ (при $b \neq 0$, что означает $y \neq 0$): $b^2 - 1,5b - 1 = 0$.

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2b^2 - 3b - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$b = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

Корни: $b_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ и $b_2 = \frac{3-5}{4} = -0,5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b=2$.

Тогда $a = 2 + 0,5 = 2,5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} zy = 2,5 \\ \frac{y}{z} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = 2z$. Подставим в первое:

$z(2z) = 2,5 \implies 2z^2 = \frac{5}{2} \implies z^2 = \frac{5}{4}$.

Отсюда $z_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Если $z_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, то $y_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

Если $z_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$, то $y_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{2}) = -\sqrt{5}$.

Получили две пары решений: $(y, z) = (\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{2})$ и $(y, z) = (-\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{2})$.

Случай 2: $b=-0,5$.

Тогда $a = -0,5 + 0,5 = 0$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} zy = 0 \\ \frac{y}{z} = -0,5 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $z=0$ или $y=0$. Однако, из второго уравнения следует, что $z \neq 0$ и $y \neq 0$, так как они находятся в знаменателях. Таким образом, в этом случае решений нет.

Ответ: $(y, z) \in \{(\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{2}); (-\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{2})\}$.