Номер 3.41, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.41. 1) Длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Какой может быть длина, если площадь прямоугольника меньше $36 \text{ cm}^2$?

2) Длина участка прямоугольной формы на 7 м больше его ширины. Какую ширину должен иметь этот участок, чтобы его площадь была больше $60 \text{ m}^2$?

3) У хозяина птицефермы имеется материал для построения забора длиной 96 м. Вычислите стороны прямоугольного загона для уток и гусей на птицеферме площадью 5,4 а ($1 \text{ а} = 100 \text{ m}^2$).

1) Пусть $l$ см – длина прямоугольника. По условию, она на 5 см больше ширины, значит ширина равна $(l - 5)$ см.
Так как размеры сторон должны быть положительными числами, то ширина $(l-5)$ должна быть больше нуля:
$l - 5 > 0$
$l > 5$
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$. В нашем случае $S = l(l - 5)$.
По условию, площадь меньше $36 \text{ см}^2$, составим и решим неравенство:
$l(l - 5) < 36$
$l^2 - 5l < 36$
$l^2 - 5l - 36 < 0$
Чтобы решить квадратное неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $l^2 - 5l - 36 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$l_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$
$l_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$
Парабола $y = l^2 - 5l - 36$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $l^2 - 5l - 36 < 0$ выполняется для значений $l$, находящихся между корнями: $-4 < l < 9$.
Объединим это решение с ранее найденным условием $l > 5$.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} -4 < l < 9 \\ l > 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $5 < l < 9$.
Ответ: длина прямоугольника должна быть больше 5 см, но меньше 9 см.

2) Пусть $w$ м – ширина участка. По условию, длина на 7 м больше ширины, значит длина равна $(w + 7)$ м.
Площадь участка $S$ равна $w(w + 7)$.
По условию, площадь должна быть больше $60 \text{ м}^2$, составим и решим неравенство:
$w(w + 7) > 60$
$w^2 + 7w > 60$
$w^2 + 7w - 60 > 0$
Найдем корни уравнения $w^2 + 7w - 60 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$w_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12$
$w_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5$
Парабола $y = w^2 + 7w - 60$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $w^2 + 7w - 60 > 0$ выполняется для значений $w$, находящихся вне интервала между корнями: $w < -12$ или $w > 5$.
Так как ширина участка не может быть отрицательной, нас интересует только решение $w > 5$.
Ответ: ширина участка должна быть больше 5 м.

3) Сначала переведем площадь из аров в квадратные метры, зная, что 1 а = 100 м²:
$S = 5,4 \text{ а} = 5,4 \cdot 100 \text{ м}^2 = 540 \text{ м}^2$.
Длина забора представляет собой периметр прямоугольного загона. Пусть стороны загона равны $a$ и $b$ метров.
Периметр $P = 2(a + b)$. По условию $P = 96$ м.
$2(a + b) = 96$
$a + b = 48$
Выразим одну сторону через другую, например, $b = 48 - a$.
Площадь загона $S = a \cdot b$. Подставим известные значения и выражение для $b$:
$a \cdot (48 - a) = 540$
$48a - a^2 = 540$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$a^2 - 48a + 540 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2304 - 2160 = 144 = 12^2$.
Найдем корни:
$a_1 = \frac{48 - 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$a_2 = \frac{48 + 12}{2} = \frac{60}{2} = 30$
Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:
Если $a = 18$ м, то $b = 48 - 18 = 30$ м.
Если $a = 30$ м, то $b = 48 - 30 = 18$ м.
В обоих случаях стороны прямоугольного загона равны 18 м и 30 м.
Ответ: стороны загона равны 18 м и 30 м.