Номер 3.40, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.40. При каких значениях переменной принимает неотрицательные значения выражение:

1) $-x^2 - 2x + 120;$

2) $2x^2 - 9x - 45;$

3) $\frac{9}{x} - \frac{x}{4};$

4) $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x}?$

1) Чтобы найти, при каких значениях переменной выражение $-x^2 - 2x + 120$ принимает неотрицательные значения, решим неравенство $-x^2 - 2x + 120 \ge 0$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 - 2x + 120 = 0$. Умножим обе части на $-1$, чтобы получить приведенное уравнение: $x^2 + 2x - 120 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = 10$.

Функция $y = -x^2 - 2x + 120$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Это означает, что функция принимает неотрицательные значения на отрезке между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-12 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-12; 10]$.

2) Найдем значения $x$, при которых выполняется неравенство $2x^2 - 9x - 45 \ge 0$.

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 9x - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 81 + 360 = 441$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7,5$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 9x - 45$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства является объединение двух промежутков: $x \le -3$ и $x \ge 7,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [7,5; +\infty)$.

3) Для выражения $\frac{9}{x} - \frac{x}{4}$ нужно решить неравенство $\frac{9}{x} - \frac{x}{4} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $4x$: $\frac{9 \cdot 4}{4x} - \frac{x \cdot x}{4x} \ge 0$, что преобразуется в $\frac{36 - x^2}{4x} \ge 0$.

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $36 - x^2 = 0 \Rightarrow (6-x)(6+x) = 0 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -6$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $4x = 0 \Rightarrow x = 0$. Эта точка не входит в решение (знаменатель не может быть равен нулю), поэтому она будет "выколотой" на числовой оси.

Отметим точки $-6, 0, 6$ на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{36 - x^2}{4x}$ в получившихся интервалах.

Проверяем знаки на интервалах:
- при $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{36-49}{-28} > 0$ (знак "+").
- при $-6 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{36-1}{-4} < 0$ (знак "-").
- при $0 < x < 6$ (например, $x=1$): $\frac{36-1}{4} > 0$ (знак "+").
- при $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{36-49}{28} < 0$ (знак "-").

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак "+"), а также точки, где оно равно нулю. Это объединение промежутков $(-\infty; -6]$ и $(0; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup (0; 6]$.

4) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} \ge 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Для числителя $2x^2 - 3x - 2$ найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.

Следовательно, числитель раскладывается как $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + 0,5) = (x - 2)(2x + 1)$.

Знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 2x = x(x-2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)(2x + 1)}{x(x - 2)} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. Неравенство (с учетом ОДЗ) становится равносильно системе:$$ \begin{cases} \frac{2x+1}{x} \ge 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $$

Решим неравенство $\frac{2x+1}{x} \ge 0$ методом интервалов. Нуль числителя $x = -0,5$. Нуль знаменателя $x = 0$.

Точки $-0,5$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала. Точка $x=-0,5$ включается в решение, а $x=0$ - нет.

Проверяя знаки на интервалах, находим, что $\frac{2x+1}{x} \ge 0$ при $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть второе условие системы: $x \neq 2$. Точка $2$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить. Для этого "разрываем" промежуток в этой точке.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.