Номер 3.36, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.36. 1)

$\begin{cases}x+y=3, \\y+z=-1, \\xz=-3;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}x^2+y^2=5, \\y-2z=3, \\x+z=1;\end{cases}$

3)

$\begin{cases}z-x=4, \\y-z=-3, \\x^2+y^2+z^2=30;\end{cases}$

4)

$\begin{cases}xy=6, \\yz=2, \\x^2+z^2=10.\end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ y + z = -1 \\ xz = -3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 3 - x$.
Из второго уравнения выразим $z$ через $y$: $z = -1 - y$.
Подставим выражение для $y$ в выражение для $z$: $z = -1 - (3 - x) = -1 - 3 + x = x - 4$.
Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Подставим выражение для $z$ в третье уравнение системы: $x(x - 4) = -3$.
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x = -3$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого найденного $x$.
Случай 1: Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 3 - x_1 = 3 - 1 = 2$
$z_1 = x_1 - 4 = 1 - 4 = -3$
Получаем первое решение: $(1, 2, -3)$.
Случай 2: Если $x_2 = 3$, то:
$y_2 = 3 - x_2 = 3 - 3 = 0$
$z_2 = x_2 - 4 = 3 - 4 = -1$
Получаем второе решение: $(3, 0, -1)$.
Проверка подтверждает, что оба набора чисел являются решениями системы.
Ответ: $(1, 2, -3)$, $(3, 0, -1)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y - 2z = 3 \\ x + z = 1 \end{cases} $
Из второго и третьего уравнений выразим $x$ и $y$ через $z$:
Из $x + z = 1$ следует, что $x = 1 - z$.
Из $y - 2z = 3$ следует, что $y = 3 + 2z$.
Подставим эти выражения в первое уравнение системы:
$(1 - z)^2 + (3 + 2z)^2 = 5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(1 - 2z + z^2) + (9 + 12z + 4z^2) = 5$
$5z^2 + 10z + 10 = 5$
$5z^2 + 10z + 5 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5:
$z^2 + 2z + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(z + 1)^2 = 0$.
Отсюда получаем единственное значение для $z$: $z = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ и $y$:
$x = 1 - z = 1 - (-1) = 2$
$y = 3 + 2z = 3 + 2(-1) = 1$
Решение системы: $(2, 1, -1)$.
Проверим: $2^2 + 1^2 = 5$, $1 - 2(-1) = 3$, $2 + (-1) = 1$. Все равенства верны.
Ответ: $(2, 1, -1)$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} z - x = 4 \\ y - z = -3 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 30 \end{cases} $
Из первых двух уравнений выразим $x$ и $y$ через $z$:
Из $z - x = 4$ следует, что $x = z - 4$.
Из $y - z = -3$ следует, что $y = z - 3$.
Подставим эти выражения в третье уравнение:
$(z - 4)^2 + (z - 3)^2 + z^2 = 30$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(z^2 - 8z + 16) + (z^2 - 6z + 9) + z^2 = 30$
$3z^2 - 14z + 25 = 30$
$3z^2 - 14z - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
Находим корни для $z$:
$z = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$
$z_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$z_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого $z$.
Случай 1: Если $z_1 = 5$, то:
$x_1 = z_1 - 4 = 5 - 4 = 1$
$y_1 = z_1 - 3 = 5 - 3 = 2$
Первое решение: $(1, 2, 5)$.
Случай 2: Если $z_2 = -1/3$, то:
$x_2 = z_2 - 4 = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{13}{3}$
$y_2 = z_2 - 3 = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3}$
Второе решение: $(-\frac{13}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.
Ответ: $(1, 2, 5)$, $(-\frac{13}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 6 \\ yz = 2 \\ x^2 + z^2 = 10 \end{cases} $
Так как произведения $xy$ и $yz$ не равны нулю, то ни одна из переменных $x, y, z$ не может быть равна нулю.
Из первого уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$.
Из второго уравнения выразим $y = \frac{2}{z}$.
Приравняем два выражения для $y$:
$\frac{6}{x} = \frac{2}{z}$
$6z = 2x$
$x = 3z$
Подставим это соотношение в третье уравнение системы:
$(3z)^2 + z^2 = 10$
$9z^2 + z^2 = 10$
$10z^2 = 10$
$z^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $z$: $z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ и $y$.
Случай 1: Если $z_1 = 1$, то:
$x_1 = 3z_1 = 3 \cdot 1 = 3$
$y_1 = \frac{2}{z_1} = \frac{2}{1} = 2$
Первое решение: $(3, 2, 1)$.
Случай 2: Если $z_2 = -1$, то:
$x_2 = 3z_2 = 3 \cdot (-1) = -3$
$y_2 = \frac{2}{z_2} = \frac{2}{-1} = -2$
Второе решение: $(-3, -2, -1)$.
Ответ: $(3, 2, 1)$, $(-3, -2, -1)$.