Номер 3.29, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.29. 1) $\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{x + y} = \frac{10}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,75; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}, \\ x^2 - y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}, \\ x^2 + y^2 = 15; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x - 1}{y} + \frac{y}{x - 1} = 2, \\ x^2 + xy = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \left(\frac{y - x}{x}\right)^2 = 1, \\ 2y^2 - x^2 = 1. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 + y^2}{x + y} = \frac{10}{3} \\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,75\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x+y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 0,75 = \frac{3}{4}$

Отсюда выразим $x+y$: $x+y = \frac{3}{4}xy$.

Теперь преобразуем первое уравнение, используя формулу $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:

$\frac{(x+y)^2 - 2xy}{x+y} = \frac{10}{3}$

Разделим почленно левую часть:

$(x+y) - \frac{2xy}{x+y} = \frac{10}{3}$

Подставим в это уравнение выражение $x+y = \frac{3}{4}xy$, полученное из второго уравнения системы:

$\frac{3}{4}xy - \frac{2xy}{\frac{3}{4}xy} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy - 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy = \frac{10}{3} + \frac{8}{3}$

$\frac{3}{4}xy = \frac{18}{3} = 6$

$xy = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$.

Теперь, зная $xy$, найдем $x+y$:

$x+y = \frac{3}{4}xy = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

Получили новую, более простую систему:

$\begin{cases}x+y=6 \\xy=8\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Решаем уравнение: $(t-2)(t-4) = 0$. Корни $t_1=2$, $t_2=4$.

Следовательно, решения системы — это пары $(2, 4)$ и $(4, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \\x^2 - y^2 = 5\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{xy} = \frac{5}{6}$

Отсюда следует, что $xy = 6$.

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 5 \\xy = 6\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$x^4 - 36 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t - 36 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1=9$, $t_2=-4$.

Корень $t_2=-4$ не подходит, так как $t=x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Если $x=3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Получаем пару $(3, 2)$.

Если $x=-3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. Получаем пару $(-3, -2)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

3)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \\x^2 + y^2 = 15\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x^2 - y^2 = \frac{5}{6}xy$.

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = \frac{5}{6}xy \\x^2 + y^2 = 15\end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $2x^2 = 15 + \frac{5}{6}xy$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 15 - \frac{5}{6}xy$.

Перемножим полученные уравнения:

$4x^2y^2 = (15 + \frac{5}{6}xy)(15 - \frac{5}{6}xy)$

Используем формулу разности квадратов:

$4(xy)^2 = 15^2 - (\frac{5}{6}xy)^2 = 225 - \frac{25}{36}(xy)^2$.

Пусть $u = xy$. Тогда:

$4u^2 = 225 - \frac{25}{36}u^2$

$4u^2 + \frac{25}{36}u^2 = 225$

$(\frac{144+25}{36})u^2 = 225 \implies \frac{169}{36}u^2 = 225$

$u^2 = \frac{225 \cdot 36}{169} = (\frac{15 \cdot 6}{13})^2 = (\frac{90}{13})^2$

Следовательно, $u = xy = \frac{90}{13}$ или $u = xy = -\frac{90}{13}$.

Случай 1: $xy = \frac{90}{13}$.

$x^2 - y^2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{90}{13} = \frac{75}{13}$.

Решаем систему: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 15 \\x^2 - y^2 = \frac{75}{13}\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 15 + \frac{75}{13} = \frac{195+75}{13} = \frac{270}{13} \implies x^2 = \frac{135}{13}$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y^2 = 15 - \frac{75}{13} = \frac{195-75}{13} = \frac{120}{13} \implies y^2 = \frac{60}{13}$.

$x = \pm \sqrt{\frac{135}{13}} = \pm 3\sqrt{\frac{15}{13}}$, $y = \pm \sqrt{\frac{60}{13}} = \pm 2\sqrt{\frac{15}{13}}$.

Так как $xy > 0$, знаки $x$ и $y$ должны совпадать. Получаем две пары решений: $(3\sqrt{\frac{15}{13}}, 2\sqrt{\frac{15}{13}})$ и $(-3\sqrt{\frac{15}{13}}, -2\sqrt{\frac{15}{13}})$.

Случай 2: $xy = -\frac{90}{13}$.

$x^2 - y^2 = \frac{5}{6} \cdot (-\frac{90}{13}) = -\frac{75}{13}$.

Решаем систему: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 15 \\x^2 - y^2 = -\frac{75}{13}\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 15 - \frac{75}{13} = \frac{120}{13} \implies x^2 = \frac{60}{13}$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y^2 = 15 + \frac{75}{13} = \frac{270}{13} \implies y^2 = \frac{135}{13}$.

$x = \pm \sqrt{\frac{60}{13}} = \pm 2\sqrt{\frac{15}{13}}$, $y = \pm \sqrt{\frac{135}{13}} = \pm 3\sqrt{\frac{15}{13}}$.

Так как $xy < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными. Получаем еще две пары решений: $(2\sqrt{\frac{15}{13}}, -3\sqrt{\frac{15}{13}})$ и $(-2\sqrt{\frac{15}{13}}, 3\sqrt{\frac{15}{13}})$.

Ответ: $(3\sqrt{\frac{15}{13}}, 2\sqrt{\frac{15}{13}}), (-3\sqrt{\frac{15}{13}}, -2\sqrt{\frac{15}{13}}), (2\sqrt{\frac{15}{13}}, -3\sqrt{\frac{15}{13}}), (-2\sqrt{\frac{15}{13}}, 3\sqrt{\frac{15}{13}})$.

4)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x-1}{y} + \frac{y}{x-1} = 2 \\x^2 + xy = 6\end{cases}$

ОДЗ: $y \neq 0$, $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{x-1}{y}$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим на $t$ (при $t \neq 0$): $t^2 + 1 = 2t$.

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t=1$.

Возвращаемся к замене: $\frac{x-1}{y} = 1$, что означает $x-1=y$.

Подставим $y=x-1$ во второе уравнение системы:

$x^2 + x(x-1) = 6$

$x^2 + x^2 - x = 6$

$2x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{1+7}{4} = 2$. Тогда $y_1 = x_1 - 1 = 2-1 = 1$.

$x_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$. Тогда $y_2 = x_2 - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$.

Обе пары $(2, 1)$ и $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1), (-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$.

5)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{26}{5} \\x^2 - y^2 = 24\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$5(x^2 + y^2) = 26xy$

$5x^2 - 26xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (т.к. $y \neq 0$):

$5(\frac{x}{y})^2 - 26(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$t_{1,2} = \frac{26 \pm 24}{10}$.

$t_1 = \frac{26+24}{10} = 5$.

$t_2 = \frac{26-24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 5 \implies x = 5y$.

Подставим во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 24$:

$(5y)^2 - y^2 = 24$

$25y^2 - y^2 = 24 \implies 24y^2 = 24 \implies y^2 = 1$.

Отсюда $y = 1$ или $y = -1$.

Если $y=1$, то $x=5(1)=5$. Решение $(5, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=5(-1)=-5$. Решение $(-5, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{5} \implies y = 5x$.

Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 24$:

$x^2 - (5x)^2 = 24$

$x^2 - 25x^2 = 24 \implies -24x^2 = 24 \implies x^2 = -1$.

В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(5, 1), (-5, -1)$.

6)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{y} - (\frac{y-x}{x})^2 = 1 \\2y^2 - x^2 = 1\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Упростим первое уравнение. Заметим, что $(\frac{y-x}{x})^2 = (-( \frac{x-y}{x} ))^2 = (\frac{x-y}{x})^2 = (1 - \frac{y}{x})^2$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение примет вид:

$t - (1 - \frac{1}{t})^2 = 1$

$t - (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) = 1$

$t - 1 + \frac{2}{t} - \frac{1}{t^2} = 1$

Умножим обе части на $t^2$ (т.к. $t \neq 0$):

$t^3 - t^2 + 2t - 1 = t^2$

$t^3 - 2t^2 + 2t - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(t^3-t^2) - (t^2-2t+1) = 0$ не помогает. Попробуем так: $(t^3-1) - (2t^2-2t) = 0$.

$(t-1)(t^2+t+1) - 2t(t-1) = 0$

$(t-1)(t^2+t+1 - 2t) = 0$

$(t-1)(t^2-t+1) = 0$

Получаем два уравнения: $t-1=0$ или $t^2-t+1=0$.

Из первого $t=1$.

Для второго $t^2-t+1=0$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0$, действительных корней нет.

Единственное решение для $t$ это $t=1$.

Возвращаемся к замене: $\frac{x}{y} = 1 \implies x=y$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение системы $2y^2 - x^2 = 1$:

$2y^2 - y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, то $x=1$. Решение $(1, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=-1$. Решение $(-1, -1)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.