Номер 3.22, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.22. 1)

$ \begin{cases} x^2 - 5y^2 + 4xy = 0, \\ x^2 - 3xy + 4y = 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 0, \\ x^2 + 9xy - y^2 = 0; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} 5x^2 + 10y^2 - 15xy = 14, \\ 3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7. \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 5y^2 + 4xy = 0 \\ x^2 - 3xy + 4y = 0 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $x^2 + 4xy - 5y^2 = 0$. Это однородное уравнение. Мы можем решить его относительно $x$ или $y$.

Рассмотрим случай, когда $y = 0$. Подставив в первое уравнение, получим $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Пара $(0, 0)$ является возможным решением. Проверим ее, подставив во второе уравнение: $0^2 - 3 \cdot 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0$, что является верным равенством $0=0$. Значит, $(0, 0)$ — решение системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $y \neq 0$. Разделим первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + 4(\frac{x}{y}) - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Корни этого уравнения (например, по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Это дает нам два соотношения между переменными:

А) $\frac{x}{y} = 1$, откуда $x = y$.

Б) $\frac{x}{y} = -5$, откуда $x = -5y$.

Подставим поочередно эти соотношения во второе уравнение системы $x^2 - 3xy + 4y = 0$.

А) Подставляем $x = y$:

$y^2 - 3y \cdot y + 4y = 0$

$y^2 - 3y^2 + 4y = 0$

$-2y^2 + 4y = 0$

$2y(-y + 2) = 0$

Отсюда $y = 0$ или $y = 2$. Если $y = 0$, то $x = y = 0$. Это решение $(0, 0)$, которое мы уже нашли. Если $y = 2$, то $x = y = 2$. Получили решение $(2, 2)$.

Б) Подставляем $x = -5y$:

$(-5y)^2 - 3(-5y)y + 4y = 0$

$25y^2 + 15y^2 + 4y = 0$

$40y^2 + 4y = 0$

$4y(10y + 1) = 0$

Отсюда $y = 0$ или $10y + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{10}$. Если $y = 0$, то $x = -5 \cdot 0 = 0$. Снова получаем решение $(0, 0)$. Если $y = -\frac{1}{10}$, то $x = -5 \cdot (-\frac{1}{10}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Получили решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{10})$.

Таким образом, система имеет три различных решения.

Ответ: $(0, 0), (2, 2), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{10})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 0 \\ x^2 + 9xy - y^2 = 0 \end{cases} $

Оба уравнения системы являются однородными. Очевидно, что пара $(0, 0)$ является решением системы, так как при подстановке оба уравнения обращаются в верные равенства $0 = 0$.

Для поиска других решений сложим два уравнения системы:

$(2x^2 + y^2 - 3xy) + (x^2 + 9xy - y^2) = 0 + 0$

$3x^2 + 6xy = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2y) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$2(0)^2 + y^2 - 3(0)y = 0$

$y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

Это дает нам решение $(0, 0)$, которое уже было найдено.

Случай 2: $x + 2y = 0$, откуда $x = -2y$.

Подставим $x = -2y$ в первое исходное уравнение:

$2(-2y)^2 + y^2 - 3(-2y)y = 0$

$2(4y^2) + y^2 + 6y^2 = 0$

$8y^2 + y^2 + 6y^2 = 0$

$15y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

Если $y = 0$, то $x = -2y = -2 \cdot 0 = 0$. Мы снова получили решение $(0, 0)$.

Других решений, кроме $(0, 0)$, система не имеет.

Ответ: $(0, 0)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 + 10y^2 - 15xy = 14 \\ 3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7 \end{cases} $

Мы можем решить эту систему, избавившись от свободных членов. Для этого умножим второе уравнение системы на 2:

$2 \cdot (3x^2 - 9xy + 6y^2) = 2 \cdot 7$

$6x^2 - 18xy + 12y^2 = 14$

Теперь исходная система эквивалентна следующей:

$ \begin{cases} 5x^2 - 15xy + 10y^2 = 14 \\ 6x^2 - 18xy + 12y^2 = 14 \end{cases} $

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x^2 - 15xy + 10y^2 = 6x^2 - 18xy + 12y^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$0 = (6x^2 - 5x^2) + (-18xy + 15xy) + (12y^2 - 10y^2)$

$0 = x^2 - 3xy + 2y^2$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители (можно решить как квадратное уравнение относительно $x$):

$(x - y)(x - 2y) = 0$

Это равенство истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Случай 1: $x - y = 0$, то есть $x = y$.

Подставим это соотношение в любое из исходных уравнений, например, во второе: $3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7$.

$3y^2 - 9y(y) + 6y^2 = 7$

$3y^2 - 9y^2 + 6y^2 = 7$

$0 \cdot y^2 = 7$

$0 = 7$

Мы получили противоречие. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 2y = 0$, то есть $x = 2y$.

Подставим это соотношение во второе уравнение $3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7$.

$3(2y)^2 - 9(2y)y + 6y^2 = 7$

$3(4y^2) - 18y^2 + 6y^2 = 7$

$12y^2 - 18y^2 + 6y^2 = 7$

$0 \cdot y^2 = 7$

$0 = 7$

Снова получили противоречие. В этом случае решений также нет.

Поскольку оба возможных случая, вытекающих из структуры системы, приводят к противоречию, исходная система несовместна.

Ответ: нет решений.