Номер 3.21, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы уравнений (3.21—3.22):

3.21. 1) $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0, \\ x^2 + y^2 + xy + y = 2 - 2x; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^3 + y^3 - x + 2xy - y = 2, \\ x^3 + y^3 - xy + 2y = 5 - 2x; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} x^3 + xy^2 - x + 2x^2y - y = 2, \\ y^3 + 2xy^2 + x^2y + y = 6 - x; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 = 5, \\ y^3 + xy^2 + x^2y + x^3 = 15. \end{cases}$$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0 \\x^2 + y^2 + xy + y = 2 - 2x\end{cases}$

Перепишем уравнения в более удобном виде. В первом уравнении сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x - y) = 0$

$(x+y)^2 + (x-y) = 0$

Перенесем все члены второго уравнения в левую часть:

$x^2 + y^2 + xy + 2x + y - 2 = 0$

Теперь вычтем второе преобразованное уравнение из первого (в его исходной форме $x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0$):

$(x^2 + y^2 + x + 2xy - y) - (x^2 + y^2 + xy + 2x + y - 2) = 0$

$x^2 + y^2 + x + 2xy - y - x^2 - y^2 - xy - 2x - y + 2 = 0$

Приводим подобные члены:

$(2xy - xy) + (x - 2x) + (-y - y) + 2 = 0$

$xy - x - 2y + 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x(y - 1) - 2(y - 1) = 0$

$(x - 2)(y - 1) = 0$

Это уравнение дает нам два возможных случая:

Случай 1: $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$.

Подставим $y = 1$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 + 1^2 + x + 2x(1) - 1 = 0$

$x^2 + 1 + x + 2x - 1 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x+3) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, 1)$ и $(-3, 1)$.

Случай 2: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Подставим $x = 2$ в первое уравнение исходной системы:

$2^2 + y^2 + 2 + 2(2)y - y = 0$

$4 + y^2 + 2 + 4y - y = 0$

$y^2 + 3y + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.

Так как $D < 0$, действительных решений для $y$ в этом случае нет.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(0, 1), (-3, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + y^3 - x + 2xy - y = 2 \\x^3 + y^3 - xy + 2y = 5 - 2x\end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав члены:

$\begin{cases}(x^3 + y^3) + 2xy - (x+y) = 2 \\(x^3 + y^3) - xy + 2(x+y) = 5\end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем новые переменные: $S = x+y$ и $P = xy$.

Используем известное тождество: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = S(S^2-3P)$.

Подставим новые переменные в систему:

$\begin{cases}S(S^2-3P) + 2P - S = 2 \\S(S^2-3P) - P + 2S = 5\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(S(S^2-3P) - P + 2S) - (S(S^2-3P) + 2P - S) = 5 - 2$

$-P + 2S - 2P + S = 3$

$3S - 3P = 3$

$S - P = 1 \Rightarrow S = P+1$.

Подставим $S = P+1$ в первое уравнение системы в новых переменных:

$(P+1)((P+1)^2 - 3P) + 2P - (P+1) = 2$

$(P+1)(P^2 + 2P + 1 - 3P) + P - 1 = 2$

$(P+1)(P^2 - P + 1) + P - 3 = 0$

Выражение $(P+1)(P^2 - P + 1)$ является формулой суммы кубов: $P^3 + 1^3$.

$P^3 + 1 + P - 3 = 0$

$P^3 + P - 2 = 0$

Найдем корень этого кубического уравнения подбором. Проверяем делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.

При $P=1$: $1^3 + 1 - 2 = 0$. Значит, $P=1$ является корнем.

Разделим многочлен $P^3 + P - 2$ на $(P-1)$: $(P-1)(P^2+P+2) = 0$.

Для квадратного трехчлена $P^2+P+2$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$, поэтому других действительных корней для $P$ нет.

Единственное действительное решение: $P=1$.

Тогда $S = P+1 = 1+1=2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$x+y = S = 2$

$xy = P = 1$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t=1$. Следовательно, $x=1$ и $y=1$.

Ответ: $(1, 1)$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + xy^2 - x + 2x^2y - y = 2 \\y^3 + 2xy^2 + x^2y + y = 6 - x\end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав члены:

$\begin{cases}(x^3 + 2x^2y + xy^2) - (x+y) = 2 \\(y^3 + 2xy^2 + x^2y) + (x+y) = 6\end{cases}$

Вынесем общие множители в скобках:

$\begin{cases}x(x^2 + 2xy + y^2) - (x+y) = 2 \\y(y^2 + 2xy + x^2) + (x+y) = 6\end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$\begin{cases}x(x+y)^2 - (x+y) = 2 \\y(x+y)^2 + (x+y) = 6\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x(x+y)^2 - (x+y)) + (y(x+y)^2 + (x+y)) = 2 + 6$

$x(x+y)^2 + y(x+y)^2 = 8$

Вынесем общий множитель $(x+y)^2$:

$(x+y)(x+y)^2 = 8$

$(x+y)^3 = 8$

Извлекая кубический корень, получаем:

$x+y = 2$

Теперь подставим $x+y=2$ в любое из преобразованных уравнений. Например, в первое:

$x(2)^2 - 2 = 2$

$4x - 2 = 2$

$4x = 4$

$x = 1$

Зная, что $x+y=2$ и $x=1$, находим $y$:

$1+y = 2 \Rightarrow y = 1$

Получили решение $(1, 1)$. Проверим его, подставив в исходные уравнения.

Первое уравнение: $1^3 + 1 \cdot 1^2 - 1 + 2 \cdot 1^2 \cdot 1 - 1 = 1+1-1+2-1=2$. Верно.

Второе уравнение: $1^3 + 2 \cdot 1 \cdot 1^2 + 1^2 \cdot 1 + 1 = 6-1 \Rightarrow 1+2+1+1=5$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 = 5 \\y^3 + xy^2 + x^2y + x^3 = 15\end{cases}$

Разложим на множители левые части обоих уравнений методом группировки.

Первое уравнение:

$x^3 - x^2y - y^3 + xy^2 = 5$

$x^2(x-y) + y^2(x-y) = 5$

$(x^2+y^2)(x-y) = 5$

Второе уравнение:

$x^3 + x^2y + y^3 + xy^2 = 15$

$x^2(x+y) + y^2(x+y) = 15$

$(x^2+y^2)(x+y) = 15$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y) = 5 \\(x^2+y^2)(x+y) = 15\end{cases}$

Заметим, что $x^2+y^2 \neq 0$, так как иначе $x=y=0$, что не удовлетворяет системе. Поэтому мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{(x^2+y^2)(x+y)}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{15}{5}$

$\frac{x+y}{x-y} = 3$

$x+y = 3(x-y)$

$x+y = 3x - 3y$

$4y = 2x$

$x = 2y$

Подставим выражение $x=2y$ в первое преобразованное уравнение $(x^2+y^2)(x-y)=5$:

$((2y)^2 + y^2)(2y-y) = 5$

$(4y^2 + y^2)(y) = 5$

$(5y^2)y = 5$

$5y^3 = 5$

$y^3 = 1$

Единственное действительное решение для $y$ это $y=1$.

Теперь находим $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$

Получили решение $(2, 1)$. Проверим его, подставив в исходную систему.

Первое уравнение: $2^3 + 2 \cdot 1^2 - 2^2 \cdot 1 - 1^3 = 8 + 2 - 4 - 1 = 5$. Верно.

Второе уравнение: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2^2 \cdot 1 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$.