Номер 3.18, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.18. Решите систему уравнений, где $a$ — параметр:

1)

$\begin{cases} x + y = 3a, \\ xy = 2a^2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x + y = 4a, \\ xy = 3a^2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x - y = 3a, \\ xy = 4a^2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5a^2, \\ xy = 2a^2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3a \\ xy = 2a^2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив в него значения из системы, получим:

$t^2 - 3at + 2a^2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2) = 9a^2 - 8a^2 = a^2$.

Найдем корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{a^2}}{2} = \frac{3a \pm |a|}{2}$.

Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и корни $t_1 = \frac{3a+a}{2} = 2a$, $t_2 = \frac{3a-a}{2} = a$.

Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и корни $t_1 = \frac{3a-a}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a+(-a)}{2} = \frac{2a}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a-(-a)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$. (Correction: $t_1 = \frac{3a+(-a)}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a-(-a)}{2} = 2a$). В любом случае, корнями уравнения являются $a$ и $2a$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(x,y)$.

Ответ: $(a, 2a), (2a, a)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 4a \\ xy = 3a^2 \end{cases}$

Используя обратную теорему Виета, составляем квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 4at + 3a^2 = 0$

Дискриминант: $D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2) = 16a^2 - 12a^2 = 4a^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{4a \pm \sqrt{4a^2}}{2} = \frac{4a \pm 2|a|}{2}$.

Независимо от знака $a$, корнями уравнения являются $a$ и $3a$.

Таким образом, решениями системы являются следующие пары $(x,y)$.

Ответ: $(a, 3a), (3a, a)$.

3)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - y = 3a \\ xy = 4a^2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3a$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(y + 3a)y = 4a^2$.

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $y^2 + 3ay - 4a^2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4a^2) = 9a^2 + 16a^2 = 25a^2$.

Найдем корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{-3a \pm \sqrt{25a^2}}{2} = \frac{-3a \pm 5|a|}{2}$.

Рассмотрим два случая для $y$:

1. $y_1 = \frac{-3a + 5|a|}{2}$. Если $a \ge 0$, то $y_1 = a$, и тогда $x_1 = a + 3a = 4a$. Если $a < 0$, то $y_1 = -4a$, и тогда $x_1 = -4a + 3a = -a$.

2. $y_2 = \frac{-3a - 5|a|}{2}$. Если $a \ge 0$, то $y_2 = -4a$, и тогда $x_2 = -4a + 3a = -a$. Если $a < 0$, то $y_2 = a$, и тогда $x_2 = a + 3a = 4a$.

В обоих случаях получаем две пары решений: $(4a, a)$ и $(-a, -4a)$.

Ответ: $(4a, a), (-a, -4a)$.

4)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5a^2 \\ xy = 2a^2 \end{cases}$

Преобразуем систему. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым:

$x^2 + y^2 + 2xy = 5a^2 + 2(2a^2) \Rightarrow (x+y)^2 = 9a^2 \Rightarrow x+y = \pm 3a$.

Вычтем из первого уравнения удвоенное второе:

$x^2 + y^2 - 2xy = 5a^2 - 2(2a^2) \Rightarrow (x-y)^2 = a^2 \Rightarrow x-y = \pm a$.

Исходная система эквивалентна совокупности четырех систем линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = 3a \\ x-y = a \end{cases} \Rightarrow 2x=4a, 2y=2a \Rightarrow x=2a, y=a$.

б) $\begin{cases} x+y = 3a \\ x-y = -a \end{cases} \Rightarrow 2x=2a, 2y=4a \Rightarrow x=a, y=2a$.

в) $\begin{cases} x+y = -3a \\ x-y = a \end{cases} \Rightarrow 2x=-2a, 2y=-4a \Rightarrow x=-a, y=-2a$.

г) $\begin{cases} x+y = -3a \\ x-y = -a \end{cases} \Rightarrow 2x=-4a, 2y=-2a \Rightarrow x=-2a, y=-a$.

Объединяя все решения, получаем четыре пары.

Ответ: $(2a, a), (a, 2a), (-a, -2a), (-2a, -a)$.