Номер 3.12, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.12. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 7, \\ x - y - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x - y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = -8, \\ xy = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = -1, \\ xy = 2. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 7, \\ x - y - 2 = 0; \end{cases} $
Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$ x - y - 2 = 0 \implies x = y + 2 $
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$ (y + 2)^2 - 2y^2 = 7 $
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$ (y^2 + 4y + 4) - 2y^2 = 7 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -y^2 + 4y + 4 = 7 $
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ -y^2 + 4y + 4 - 7 = 0 $
$ -y^2 + 4y - 3 = 0 $
Для удобства умножим обе части уравнения на -1:
$ y^2 - 4y + 3 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.
Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = y + 2$:
1. При $y_1 = 1$, получаем $x_1 = 1 + 2 = 3$. Первое решение: $(3; 1)$.
2. При $y_2 = 3$, получаем $x_2 = 3 + 2 = 5$. Второе решение: $(5; 3)$.
Проверим решения, подставив их в исходную систему.
Для $(3; 1)$: $3^2 - 2(1^2) = 9 - 2 = 7$; $3 - 1 - 2 = 0$. Верно.
Для $(5; 3)$: $5^2 - 2(3^2) = 25 - 18 = 7$; $5 - 3 - 2 = 0$. Верно.
Ответ: $(3; 1), (5; 3)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x - y = 1; \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$ x = y + 1 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ (y + 1)^2 - 2y^2 = 1 $
Раскроем скобки и упростим:
$ (y^2 + 2y + 1) - 2y^2 = 1 $
$ -y^2 + 2y + 1 = 1 $
$ -y^2 + 2y = 0 $
Умножим на -1:
$ y^2 - 2y = 0 $
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$ y(y - 2) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 1$:
1. При $y_1 = 0$, получаем $x_1 = 0 + 1 = 1$. Первое решение: $(1; 0)$.
2. При $y_2 = 2$, получаем $x_2 = 2 + 1 = 3$. Второе решение: $(3; 2)$.
Проверим решения:
Для $(1; 0)$: $1^2 - 2(0^2) = 1 - 0 = 1$; $1 - 0 = 1$. Верно.
Для $(3; 2)$: $3^2 - 2(2^2) = 9 - 8 = 1$; $3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: $(1; 0), (3; 2)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = -8, \\ xy = 3; \end{cases} $
Из второго уравнения видно, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y$ из второго уравнения:
$ y = \frac{3}{x} $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 - (\frac{3}{x})^2 = -8 $
$ x^2 - \frac{9}{x^2} = -8 $
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на $x^2$:
$ x^4 - 9 = -8x^2 $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:
$ x^4 + 8x^2 - 9 = 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
$ t^2 + 8t - 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$.
Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Возвращаемся к исходной переменной:
$ x^2 = 1 $
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{3}{x}$:
1. При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Первое решение: $(1; 3)$.
2. При $x_2 = -1$, получаем $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Второе решение: $(-1; -3)$.
Проверим решения:
Для $(1; 3)$: $1^2 - 3^2 = 1 - 9 = -8$; $1 \cdot 3 = 3$. Верно.
Для $(-1; -3)$: $(-1)^2 - (-3)^2 = 1 - 9 = -8$; $(-1) \cdot (-3) = 3$. Верно.
Ответ: $(1; 3), (-1; -3)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = -1, \\ xy = 2. \end{cases} $
Эта система решается простой подстановкой значения $xy$ из второго уравнения в первое.
Подставим $xy = 2$ в первое уравнение:
$ x^2 + (2) - y^2 = -1 $
Упростим полученное уравнение:
$ x^2 - y^2 = -1 - 2 $
$ x^2 - y^2 = -3 $
Теперь исходная система эквивалентна следующей, более простой системе:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -3, \\ xy = 2. \end{cases} $
Эта система аналогична предыдущей. Из второго уравнения выразим $y = \frac{2}{x}$ (здесь $x \neq 0$).
Подставим это в первое уравнение новой системы:
$ x^2 - (\frac{2}{x})^2 = -3 $
$ x^2 - \frac{4}{x^2} = -3 $
Умножим на $x^2$:
$ x^4 - 4 = -3x^2 $
$ x^4 + 3x^2 - 4 = 0 $
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$ t^2 + 3t - 4 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t \ge 0$.
Выполняем обратную замену:
$ x^2 = 1 $, что дает $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{2}{x}$:
1. При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Первое решение: $(1; 2)$.
2. При $x_2 = -1$, получаем $y_2 = \frac{2}{-1} = -2$. Второе решение: $(-1; -2)$.
Проверим решения в исходной системе:
Для $(1; 2)$: $1^2 + 1 \cdot 2 - 2^2 = 1 + 2 - 4 = -1$; $1 \cdot 2 = 2$. Верно.
Для $(-1; -2)$: $(-1)^2 + (-1)(-2) - (-2)^2 = 1 + 2 - 4 = -1$; $(-1)(-2) = 2$. Верно.
Ответ: $(1; 2), (-1; -2)$.