Номер 3.9, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.9. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} (x+5) \cdot (y+2) = 12, \\ 3x+9 = 5y-7; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} (x-1) \cdot (y+10) = 9, \\ x-y = 11; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2(x-y) = 5-y, \\ (2x-y)^2 - 5x = 15; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2x^2 - yx = -x, \\ 2(4x-3y) + 3y - 9 = 0. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(x + 5) \cdot (y + 2) = 12, \\3x + 9 = 5y - 7;\end{cases}$

Сначала упростим второе уравнение:$3x + 9 = 5y - 7$$3x - 5y = -7 - 9$$3x - 5y = -16$

Выразим $y$ через $x$ из этого уравнения:$5y = 3x + 16$$y = \frac{3x + 16}{5}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 16}{5} + 2\right) = 12$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 16 + 10}{5}\right) = 12$$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 26}{5}\right) = 12$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:$(x + 5)(3x + 26) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$3x^2 + 26x + 15x + 130 = 60$$3x^2 + 41x + 130 - 60 = 0$$3x^2 + 41x + 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 41^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 1681 - 840 = 841$$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-41 - 29}{2 \cdot 3} = \frac{-70}{6} = -\frac{35}{3}$$x_2 = \frac{-41 + 29}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = \frac{3x + 16}{5}$:

Для $x_1 = -\frac{35}{3}$:$y_1 = \frac{3 \cdot (-\frac{35}{3}) + 16}{5} = \frac{-35 + 16}{5} = \frac{-19}{5}$

Для $x_2 = -2$:$y_2 = \frac{3 \cdot (-2) + 16}{5} = \frac{-6 + 16}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-\frac{35}{3}; -\frac{19}{5})$, $(-2; 2)$.

2)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(x - 1) \cdot (y + 10) = 9, \\x - y = 11;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:$x = 11 + y$

Подставим это выражение в первое уравнение:$((11 + y) - 1) \cdot (y + 10) = 9$$(10 + y) \cdot (y + 10) = 9$$(y + 10)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$y + 10 = \pm\sqrt{9}$$y + 10 = \pm 3$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:1) $y_1 + 10 = 3 \implies y_1 = -7$2) $y_2 + 10 = -3 \implies y_2 = -13$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 11 + y$:

Для $y_1 = -7$:$x_1 = 11 + (-7) = 4$

Для $y_2 = -13$:$x_2 = 11 + (-13) = -2$

Система имеет два решения.
Ответ: $(4; -7)$, $(-2; -13)$.

3)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}2(x - y) = 5 - y, \\(2x - y)^2 - 5x = 15;\end{cases}$

Упростим первое уравнение:$2x - 2y = 5 - y$$2x - y = 5$

Заметим, что выражение $2x - y$ присутствует во втором уравнении. Подставим в него найденное значение $5$:$(5)^2 - 5x = 15$$25 - 5x = 15$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$25 - 15 = 5x$$10 = 5x$$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в упрощенное первое уравнение $2x - y = 5$:$2(2) - y = 5$$4 - y = 5$$-y = 1$$y = -1$

Система имеет одно решение.
Ответ: $(2; -1)$.

4)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}2x^2 - yx = -x, \\2(4x - 3y) + 3y - 9 = 0.\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:$2x^2 - yx + x = 0$Вынесем $x$ за скобки:$x(2x - y + 1) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:Случай A: $x = 0$Случай Б: $2x - y + 1 = 0$

Теперь упростим второе уравнение системы:$8x - 6y + 3y - 9 = 0$$8x - 3y - 9 = 0$

Случай A: $x = 0$Подставим $x=0$ в упрощенное второе уравнение:$8(0) - 3y - 9 = 0$$-3y = 9$$y = -3$Получили первое решение: $(0; -3)$.

Случай Б: $2x - y + 1 = 0$Из этого уравнения выразим $y$:$y = 2x + 1$Подставим это выражение для $y$ в упрощенное второе уравнение $8x - 3y - 9 = 0$:$8x - 3(2x + 1) - 9 = 0$$8x - 6x - 3 - 9 = 0$$2x - 12 = 0$$2x = 12$$x = 6$

Найдем соответствующее значение $y$, используя $y = 2x + 1$:$y = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13$Получили второе решение: $(6; 13)$.

Система имеет два решения.
Ответ: $(0; -3)$, $(6; 13)$.