Номер 3.3, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.3. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + 1 = -y \\ xy + 3x - 1 = 0 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 - 4 = -y \\ 3y - x = -14 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 4x + 3 = 4y^2 \\ 3y - x - 2 = 0 \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + 1 = 2y \\ 5xy + y^2 - 16 = 0 \end{cases}$

5)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases}$

6)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 4y - 3x = 0 \end{cases}$

7)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 8.5 \\ y - x + 4 = 0 \end{cases}$

8)

$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2y + x - 3 = 0 \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 1 = -y \\ xy + 3x - 1 = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим y:
$ y = -(x + 1) = -x - 1 $
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$ x(-x - 1) + 3x - 1 = 0 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ -x^2 - x + 3x - 1 = 0 $
$ -x^2 + 2x - 1 = 0 $
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
Левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$ (x - 1)^2 = 0 $
Отсюда находим значение x:
$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $
Теперь найдем соответствующее значение y, подставив x = 1 в выражение $ y = -x - 1 $:
$ y = -1 - 1 = -2 $
Таким образом, решение системы — пара чисел (1, -2).
Ответ: (1, -2).

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 4 = -y \\ 3y - x = -14 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим y:
$ y = -(2x^2 - 4) = 4 - 2x^2 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ 3(4 - 2x^2) - x = -14 $
$ 12 - 6x^2 - x = -14 $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ -6x^2 - x + 12 + 14 = 0 $
$ -6x^2 - x + 26 = 0 $
Умножим на -1:
$ 6x^2 + x - 26 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-26) = 1 + 624 = 625 = 25^2 $
$ x_1 = \frac{-1 + 25}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2 $
$ x_2 = \frac{-1 - 25}{2 \cdot 6} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6} $
Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x:
Если $ x_1 = 2 $, то $ y_1 = 4 - 2(2^2) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4 $.
Если $ x_2 = -\frac{13}{6} $, то $ y_2 = 4 - 2\left(-\frac{13}{6}\right)^2 = 4 - 2\left(\frac{169}{36}\right) = 4 - \frac{169}{18} = \frac{72 - 169}{18} = -\frac{97}{18} $.
Ответ: (2, -4), $(-\frac{13}{6}, -\frac{97}{18})$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 3 = 4y^2 \\ 3y - x - 2 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим x:
$ x = 3y - 2 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4(3y - 2) + 3 = 4y^2 $
$ 12y - 8 + 3 = 4y^2 $
$ 12y - 5 = 4y^2 $
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$ 4y^2 - 12y + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-12)^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 = 8^2 $
$ y_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $
$ y_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5 $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = 2,5 $, то $ x_1 = 3(2,5) - 2 = 7,5 - 2 = 5,5 $.
Если $ y_2 = 0,5 $, то $ x_2 = 3(0,5) - 2 = 1,5 - 2 = -0,5 $.
Ответ: (5,5; 2,5), (-0,5; 0,5).

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 1 = 2y \\ 5xy + y^2 - 16 = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим x:
$ x = 2y - 1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ 5(2y - 1)y + y^2 - 16 = 0 $
$ 10y^2 - 5y + y^2 - 16 = 0 $
$ 11y^2 - 5y - 16 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-5)^2 - 4(11)(-16) = 25 + 704 = 729 = 27^2 $
$ y_1 = \frac{5 + 27}{2 \cdot 11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11} $
$ y_2 = \frac{5 - 27}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1 $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = \frac{16}{11} $, то $ x_1 = 2\left(\frac{16}{11}\right) - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11} $.
Если $ y_2 = -1 $, то $ x_2 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 $.
Ответ: $(\frac{21}{11}, \frac{16}{11})$, (-3, -1).

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = x - 3 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + (x - 3)^2 = 17 $
$ x^2 + x^2 - 6x + 9 = 17 $
$ 2x^2 - 6x - 8 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 4 $, то $ y_1 = 4 - 3 = 1 $.
Если $ x_2 = -1 $, то $ y_2 = -1 - 3 = -4 $.
Ответ: (4, 1), (-1, -4).

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 4y - 3x = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ 4y = 3x \implies y = \frac{3}{4}x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + \left(\frac{3}{4}x\right)^2 = 100 $
$ x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 100 $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 100 $
$ \frac{25x^2}{16} = 100 $
$ x^2 = \frac{100 \cdot 16}{25} = 4 \cdot 16 = 64 $
Отсюда $ x = \pm\sqrt{64} $, то есть $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -8 $.
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 8 $, то $ y_1 = \frac{3}{4}(8) = 6 $.
Если $ x_2 = -8 $, то $ y_2 = \frac{3}{4}(-8) = -6 $.
Ответ: (8, 6), (-8, -6).

7) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8,5 \\ y - x + 4 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = x - 4 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + (x - 4)^2 = 8,5 $
$ x^2 + x^2 - 8x + 16 = 8,5 $
$ 2x^2 - 8x + 16 - 8,5 = 0 $
$ 2x^2 - 8x + 7,5 = 0 $
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$ 4x^2 - 16x + 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = (-16)^2 - 4(4)(15) = 256 - 240 = 16 = 4^2 $
$ x_1 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $
$ x_2 = \frac{16 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5 $
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 2,5 $, то $ y_1 = 2,5 - 4 = -1,5 $.
Если $ x_2 = 1,5 $, то $ y_2 = 1,5 - 4 = -2,5 $.
Ответ: (2,5; -1,5), (1,5; -2,5).

8) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2y + x - 3 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим x:
$ x = 3 - 2y $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11 $
$ 3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11 $
$ 27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11 $
$ 14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0 $
$ 14y^2 - 36y + 16 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ 7y^2 - 18y + 8 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-18)^2 - 4(7)(8) = 324 - 224 = 100 = 10^2 $
$ y_1 = \frac{18 + 10}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2 $
$ y_2 = \frac{18 - 10}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = 2 $, то $ x_1 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1 $.
Если $ y_2 = \frac{4}{7} $, то $ x_2 = 3 - 2\left(\frac{4}{7}\right) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21 - 8}{7} = \frac{13}{7} $.
Ответ: (-1, 2), $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.