Номер 3.1, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.1. Найдите координаты точек, в которых пересекаются:

1) парабола, заданная формулой $y = x^2 - 6x + 5$, и прямая, заданная формулой $y = 3x - 3$;

2) окружность, заданная формулой $x^2 + y^2 = 16$, и прямая, заданная формулой $y = x + 4$;

3) окружность, заданная формулой $x^2 + y^2 = 25$, и парабола, заданная формулой $y = x^2 + 5$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = x^2 - 6x + 5$ и прямой $y = 3x - 3$, нужно решить систему этих уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$x^2 - 6x + 5 = 3x - 3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 3x + 5 + 3 = 0$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 3x - 3$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0$.
При $x_2 = 8$: $y_2 = 3(8) - 3 = 24 - 3 = 21$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(1; 0)$ и $(8; 21)$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и прямой $y = x + 4$, решим систему этих уравнений. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (x + 4)^2 = 16$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 16$
$2x^2 + 8x + 16 - 16 = 0$
$2x^2 + 8x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2x = 0 \implies x_1 = 0$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение прямой $y = x + 4$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 0 + 4 = 4$.
При $x_2 = -4$: $y_2 = -4 + 4 = 0$.
Получили две точки пересечения.
Ответ: $(0; 4)$ и $(-4; 0)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и параболы $y = x^2 + 5$, решим систему этих уравнений. Из уравнения параболы выразим $x^2$: $x^2 = y - 5$. Подставим это выражение в уравнение окружности:
$(y - 5) + y^2 = 25$
Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + y - 5 - 25 = 0$
$y^2 + y - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -30. Корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $x^2 = y - 5$:
При $y_1 = 5$: $x^2 = 5 - 5 = 0 \implies x = 0$. Получаем точку $(0; 5)$.
При $y_2 = -6$: $x^2 = -6 - 5 = -11$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, существует только одна точка пересечения.
Ответ: $(0; 5)$.