Номер 2.9, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.9. Решите уравнение:

1) $x^4 - 8x^2 + 4 = 0;$

2) $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0;$

3) $(4x^2 - 1)^2 - 3(1 - 8x^2) + 6 = 0;$

4) $(x^2 + 1)^2 - 3(1 - x^2) - 4 = 0.$

1) Решим биквадратное уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 8y + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.
$\sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{-(-8) + 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\sqrt{3}$.
$y_2 = \frac{-(-8) - 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\sqrt{3}$.
Оба корня положительны, так как $4 = \sqrt{16}$, а $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, поэтому $4 > 2\sqrt{3}$ и $y_2 > 0$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = y$.
Для $y_1 = 4 + 2\sqrt{3}$:
$x^2 = 4 + 2\sqrt{3}$. Заметим, что $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
$x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$, откуда $x_{1,2} = \pm(\sqrt{3} + 1)$.
Для $y_2 = 4 - 2\sqrt{3}$:
$x^2 = 4 - 2\sqrt{3}$. Заметим, что $4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
$x^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$, откуда $x_{3,4} = \pm(\sqrt{3} - 1)$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\pm(\sqrt{3} + 1); \pm(\sqrt{3} - 1)$.

2) Решим биквадратное уравнение $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$3t^2 - 5t + 2 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Оба корня положительны, поэтому подходят для обратной замены.
Выполним обратную замену $x^2 = t$.
Если $x^2 = 1$, то $x_{1,2} = \pm 1$.
Если $x^2 = \frac{2}{3}$, то $x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3) Решим уравнение $(4x^2 - 1)^2 - 3(1 - 8x^2) + 6 = 0$.
Раскроем скобки и упростим выражение.
$(16x^4 - 8x^2 + 1) - 3 + 24x^2 + 6 = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$16x^4 + (-8x^2 + 24x^2) + (1 - 3 + 6) = 0$.
$16x^4 + 16x^2 + 4 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 4:
$4x^4 + 4x^2 + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x^2)^2 + 2 \cdot (2x^2) \cdot 1 + 1^2 = (2x^2+1)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(2x^2 + 1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $2x^2 + 1 = 0$.
$2x^2 = -1$.
$x^2 = -\frac{1}{2}$.
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

4) Решим уравнение $(x^2 + 1)^2 - 3(1 - x^2) - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$(t + 1)^2 - 3(1 - t) - 4 = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$t^2 + 2t + 1 - 3 + 3t - 4 = 0$.
$t^2 + 5t - 6 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$.
$t_1 = 1$: $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
$t_2 = -6$: $x^2 = -6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$.
Таким образом, единственными решениями являются $x=1$ и $x=-1$.
Ответ: $\pm 1$.