Номер 2.11, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.11. 1) Два автомобиля выехали одновременно из города А в город В, длина пути по шоссе между которыми равна 540 км. Один автомобиль ехал со скоростью на 10 км/ч большей, чем другой и прибыл в город В на 45 мин раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

2) Велосипедист должен был проехать путь длиной 48 км, чтобы успеть к поезду, однако он задержался с выездом на 48 мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой скоростью ехал велосипедист?

3) Поезд задержан у семафора на 16 минут. Увеличив скорость на 10 км/ч, он сумел уложиться в график на перегоне длиной 80 км. Какова скорость поезда по расписанию?

1)

Пусть $S$ - расстояние между городами A и B, $S = 540$ км.

Пусть $x$ км/ч - скорость одного автомобиля. Тогда скорость другого автомобиля равна $(x + 10)$ км/ч.

Время, которое затратил первый (более медленный) автомобиль на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{540}{x}$ часов.

Время, которое затратил второй (более быстрый) автомобиль на весь путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{540}{x+10}$ часов.

По условию, второй автомобиль прибыл на 45 минут раньше. Переведем минуты в часы: 45 мин = $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа.

Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{3}{4}$ часа. Составим уравнение:

$\frac{540}{x} - \frac{540}{x+10} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+10} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{180(x+10) - 180x}{x(x+10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{180x + 1800 - 180x}{x^2 + 10x} = \frac{1}{4}$

$\frac{1800}{x^2 + 10x} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 10x = 1800 \cdot 4$

$x^2 + 10x = 7200$

$x^2 + 10x - 7200 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

$\sqrt{D} = \sqrt{28900} = 170$

$x_1 = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 80$ км/ч. Это скорость первого (медленного) автомобиля.

Скорость второго автомобиля равна $x + 10 = 80 + 10 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 80 км/ч, скорость другого - 90 км/ч.

2)

Пусть $S$ - длина пути, $S = 48$ км.

Пусть $x$ км/ч - первоначально планируемая скорость велосипедиста.

Тогда фактическая скорость велосипедиста была $(x + 3)$ км/ч.

Планируемое время в пути: $t_{план} = \frac{48}{x}$ часов.

Фактическое время в пути: $t_{факт} = \frac{48}{x+3}$ часов.

Велосипедист задержался с выездом на 48 минут, что составляет $\frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ часа. Чтобы приехать вовремя, он должен был сократить время в пути на эту величину.

Следовательно, разница между планируемым и фактическим временем составляет $\frac{4}{5}$ часа. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{4}{5}$

$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+3} = \frac{4}{5}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{12}{x} - \frac{12}{x+3} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(x+3) - 12x}{x(x+3)} = \frac{1}{5}$

$\frac{12x + 36 - 12x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{5}$

$\frac{36}{x^2 + 3x} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 3x = 36 \cdot 5$

$x^2 + 3x = 180$

$x^2 + 3x - 180 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

$x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому планируемая скорость $x = 12$ км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью ехал велосипедист?", то есть нужно найти фактическую скорость.

Фактическая скорость: $x + 3 = 12 + 3 = 15$ км/ч.

Ответ: велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.

3)

Пусть $S$ - длина перегона, $S = 80$ км.

Пусть $x$ км/ч - скорость поезда по расписанию.

После задержки скорость поезда стала $(x + 10)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был потратить на перегон по расписанию: $t_{расп} = \frac{80}{x}$ часов.

Фактическое время, которое поезд потратил на перегон: $t_{факт} = \frac{80}{x+10}$ часов.

Поезд был задержан на 16 минут, что составляет $\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ часа. Чтобы уложиться в график, он должен был проехать перегон на 16 минут быстрее, чем по расписанию.

Следовательно, разница во времени составляет $\frac{4}{15}$ часа. Составим уравнение:

$t_{расп} - t_{факт} = \frac{4}{15}$

$\frac{80}{x} - \frac{80}{x+10} = \frac{4}{15}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+10} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{20(x+10) - 20x}{x(x+10)} = \frac{1}{15}$

$\frac{20x + 200 - 20x}{x^2 + 10x} = \frac{1}{15}$

$\frac{200}{x^2 + 10x} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 10x = 200 \cdot 15$

$x^2 + 10x = 3000$

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

$x_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость поезда по расписанию $x = 50$ км/ч.

Ответ: скорость поезда по расписанию 50 км/ч.