Номер 2.6, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.6. Докажите, что графики уравнений $x - y = 4$ и $y = 5 - 5x + x^2$ пересекаются только в одной точке. Найдите координаты этой точки.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, так как координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4 \\ y = 5 - 5x + x^2\end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = x - 4$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x - 4 = 5 - 5x + x^2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = x^2 - 5x - x + 5 + 4$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество точек пересечения графиков равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Чтобы доказать, что точка пересечения единственная, нужно показать, что уравнение имеет только один корень. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Так как дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что графики данных уравнений пересекаются только в одной точке.

Теперь найдем координаты этой точки. Сначала найдем значение $x$, решив уравнение. Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=3$ в уравнение $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, единственная точка пересечения графиков имеет координаты $(3; -1)$.

Ответ: Доказательством того, что графики пересекаются только в одной точке, является тот факт, что система уравнений, описывающая их пересечение, сводится к квадратному уравнению $x^2 - 6x + 9 = 0$, дискриминант которого равен нулю ($D=0$), что означает наличие только одного действительного корня. Координаты этой точки пересечения: $(3; -1)$.