Номер 1.15, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.15. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y = 2;$

2) $x^2 + y^2 - 4 = 0;$

3) $\frac{1}{x} - y = 0;$

4) $x^2 - 2x + y^2 = 8.$

1) $x^2 + y = 2$
Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = -x^2 + 2$. Это уравнение параболы. График функции $y = -x^2$ получается из графика $y = x^2$ отражением относительно оси абсцисс. График функции $y = -x^2 + 2$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$, ветви направлены вниз. Для построения найдем координаты нескольких точек: при $x=0$, $y=2$; при $x=1$, $y=1$; при $x=-1$, $y=1$; при $x=2$, $y=-2$; при $x=-2$, $y=-2$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0; 2)$ и ветвями, направленными вниз.

2) $x^2 + y^2 - 4 = 0$
Перепишем уравнение в виде $x^2 + y^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. В нашем случае уравнение можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 2^2$. Следовательно, центр окружности находится в точке $(0; 0)$, а радиус равен $2$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

3) $\frac{1}{x} - y = 0$
Выразим $y$ через $x$, получим $y = \frac{1}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Область определения функции: $x \neq 0$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика. Некоторые точки для построения: $(1; 1), (2; 0.5), (0.5; 2)$ для первой ветви и $(-1; -1), (-2; -0.5), (-0.5; -2)$ для второй.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = 1/x$ с ветвями в I и III координатных четвертях.

4) $x^2 - 2x + y^2 = 8$
Для приведения уравнения к каноническому виду окружности выделим полный квадрат для переменной $x$. Добавим и вычтем 1: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 8$. Свернем полный квадрат: $(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 8$. Перенесем -1 в правую часть: $(x - 1)^2 + y^2 = 9$. Запишем уравнение в стандартном виде: $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $r = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $3$.