Номер 1.10, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.10. Решите систему уравнений:

1)

$$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ 3x + y = -4; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} -3x + 5y = 4, \\ 2x + y = 7; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} x - 7y = 23, \\ 3x - y = 14; \end{cases} $$

4)

$$ \begin{cases} -5x - y = 26, \\ 3x - 2y = -15; \end{cases} $$

5)

$$ \begin{cases} -5x - 3y = 36, \\ 4x + y = -29; \end{cases} $$

6)

$$ \begin{cases} 7x + 8y = 31, \\ 3x - 4y = -24. \end{cases} $$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}2x - y = 3, \\3x + y = -4\end{cases}$
Решим данную систему методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(2x - y) + (3x + y) = 3 + (-4)$
$5x = -1$
$x = -\frac{1}{5}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:
$2(-\frac{1}{5}) - y = 3$
$-\frac{2}{5} - y = 3$
$-y = 3 + \frac{2}{5}$
$-y = \frac{15}{5} + \frac{2}{5}$
$-y = \frac{17}{5}$
$y = -\frac{17}{5}$
Таким образом, решение системы: $x = -\frac{1}{5}$, $y = -\frac{17}{5}$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}; -\frac{17}{5})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}-3x + 5y = 4, \\2x + y = 7\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 7 - 2x$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$-3x + 5(7 - 2x) = 4$
$-3x + 35 - 10x = 4$
$-13x = 4 - 35$
$-13x = -31$
$x = \frac{31}{13}$
Теперь найдем значение $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 7 - 2(\frac{31}{13}) = \frac{7 \cdot 13}{13} - \frac{62}{13} = \frac{91 - 62}{13} = \frac{29}{13}$
Решение системы: $x = \frac{31}{13}$, $y = \frac{29}{13}$.
Ответ: $(\frac{31}{13}; \frac{29}{13})$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 7y = 23, \\3x - y = 14\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 23 + 7y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(23 + 7y) - y = 14$
$69 + 21y - y = 14$
$20y = 14 - 69$
$20y = -55$
$y = -\frac{55}{20} = -\frac{11}{4}$
Теперь найдем значение $x$:
$x = 23 + 7(-\frac{11}{4}) = 23 - \frac{77}{4} = \frac{23 \cdot 4}{4} - \frac{77}{4} = \frac{92 - 77}{4} = \frac{15}{4}$
Решение системы: $x = \frac{15}{4}$, $y = -\frac{11}{4}$.
Ответ: $(\frac{15}{4}; -\frac{11}{4})$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}-5x - y = 26, \\3x - 2y = -15\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$-y = 26 + 5x$
$y = -26 - 5x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$3x - 2(-26 - 5x) = -15$
$3x + 52 + 10x = -15$
$13x = -15 - 52$
$13x = -67$
$x = -\frac{67}{13}$
Теперь найдем значение $y$:
$y = -26 - 5(-\frac{67}{13}) = -26 + \frac{335}{13} = -\frac{26 \cdot 13}{13} + \frac{335}{13} = \frac{-338 + 335}{13} = -\frac{3}{13}$
Решение системы: $x = -\frac{67}{13}$, $y = -\frac{3}{13}$.
Ответ: $(-\frac{67}{13}; -\frac{3}{13})$.

5) Дана система уравнений:$\begin{cases}-5x - 3y = 36, \\4x + y = -29\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = -29 - 4x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$-5x - 3(-29 - 4x) = 36$
$-5x + 87 + 12x = 36$
$7x = 36 - 87$
$7x = -51$
$x = -\frac{51}{7}$
Теперь найдем значение $y$:
$y = -29 - 4(-\frac{51}{7}) = -29 + \frac{204}{7} = -\frac{29 \cdot 7}{7} + \frac{204}{7} = \frac{-203 + 204}{7} = \frac{1}{7}$
Решение системы: $x = -\frac{51}{7}$, $y = \frac{1}{7}$.
Ответ: $(-\frac{51}{7}; \frac{1}{7})$.

6) Дана система уравнений:$\begin{cases}7x + 8y = 31, \\3x - 4y = -24\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$\begin{cases}7x + 8y = 31, \\2(3x - 4y) = 2(-24)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x + 8y = 31, \\6x - 8y = -48\end{cases}$
Сложим уравнения полученной системы:
$(7x + 8y) + (6x - 8y) = 31 + (-48)$
$13x = -17$
$x = -\frac{17}{13}$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$3(-\frac{17}{13}) - 4y = -24$
$-\frac{51}{13} - 4y = -24$
$-4y = -24 + \frac{51}{13}$
$-4y = -\frac{24 \cdot 13}{13} + \frac{51}{13}$
$-4y = \frac{-312 + 51}{13}$
$-4y = -\frac{261}{13}$
$y = \frac{-261}{13 \cdot (-4)} = \frac{261}{52}$
Решение системы: $x = -\frac{17}{13}$, $y = \frac{261}{52}$.
Ответ: $(-\frac{17}{13}; \frac{261}{52})$.