Номер 1.6, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.6. Множество каких пар целых чисел является решением уравнения:

1) $x^2 + y^2 = 4$;

2) $3x^2 + y^2 = 7$;

3) $x^2 + 3y^2 = 16?

1) Решим уравнение $x^2 + y^2 = 4$ в целых числах. Мы ищем все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие данному уравнению.Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, их квадраты $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными целыми числами.Из уравнения следует, что $x^2 \le 4$ и $y^2 \le 4$.Это означает, что возможные значения для $x$ и $y$ лежат в диапазоне от -2 до 2.Рассмотрим возможные целые неотрицательные значения для $x^2$: 0, 1, 4. Переберем их.

• Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Подставляем в уравнение: $0^2 + y^2 = 4$, откуда $y^2 = 4$, и $y = \pm 2$. Получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $(\pm 1)^2 + y^2 = 4$, откуда $1 + y^2 = 4$, и $y^2 = 3$. У этого уравнения нет целых решений для $y$, так как 3 не является квадратом целого числа.

• Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$. Подставляем в уравнение: $(\pm 2)^2 + y^2 = 4$, откуда $4 + y^2 = 4$, и $y^2 = 0$. Отсюда $y = 0$. Получаем еще две пары решений: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, множество решений состоит из четырех пар целых чисел.

Ответ: $\{(0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0)\}$.

2) Решим уравнение $3x^2 + y^2 = 7$ в целых числах.Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то и $3x^2$ является неотрицательным целым числом.Из уравнения следует, что $3x^2 \le 7$, что означает $x^2 \le \frac{7}{3}$, то есть $x^2 \le 2.33...$.Поскольку $x$ — целое число, $x^2$ может принимать только значения, являющиеся полными квадратами: 0 и 1.

• Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Подставляем в уравнение: $3 \cdot 0^2 + y^2 = 7$, откуда $y^2 = 7$. Целых решений для $y$ нет.

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $3 \cdot (\pm 1)^2 + y^2 = 7$, откуда $3 + y^2 = 7$, и $y^2 = 4$. Отсюда $y = \pm 2$. Получаем четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Таким образом, множество решений состоит из четырех пар целых чисел.

Ответ: $\{(1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2)\}$.

3) Решим уравнение $x^2 + 3y^2 = 16$ в целых числах.Аналогично предыдущим пунктам, $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.Из уравнения следует, что $3y^2 \le 16$, что означает $y^2 \le \frac{16}{3}$, то есть $y^2 \le 5.33...$.Поскольку $y$ — целое число, $y^2$ может принимать только значения, являющиеся полными квадратами: 0, 1, 4.

• Если $y^2 = 0$, то $y=0$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot 0^2 = 16$, откуда $x^2 = 16$, и $x = \pm 4$. Получаем две пары решений: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

• Если $y^2 = 1$, то $y = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot (\pm 1)^2 = 16$, откуда $x^2 + 3 = 16$, и $x^2 = 13$. Целых решений для $x$ нет.

• Если $y^2 = 4$, то $y = \pm 2$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot (\pm 2)^2 = 16$, откуда $x^2 + 12 = 16$, и $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm 2$. Получаем четыре пары решений: $(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Таким образом, множество решений состоит из шести пар целых чисел.

Ответ: $\{(4, 0), (-4, 0), (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)\}$.