Номер 1.7, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.7. Какой фигурой на координатной плоскости является множество точек, координаты которых являются решением уравнения:

1) $y = 3x - 2x^2$;

2) $y = -0.3x^2 - 2x$;

3) $xy - 3 = 0$;

4) $(2x - 3)y = 2?

1) Уравнение $y = 3x - 2x^2$ является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 3$, $c = 0$. Графиком квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при старшем члене $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$:
$x_0 = \frac{-3}{2 \cdot (-2)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$
$y_0 = 3(\frac{3}{4}) - 2(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{4} - 2(\frac{9}{16}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{8} = \frac{18}{8} - \frac{9}{8} = \frac{9}{8}$
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, \frac{9}{8})$.
Ответ: парабола.

2) Уравнение $y = -0.3x^2 - 2x$ также является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -0.3$, $b = -2$, $c = 0$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент $a = -0.3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-0.3)} = \frac{2}{-0.6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$
$y_0 = -0.3(-\frac{10}{3})^2 - 2(-\frac{10}{3}) = -\frac{3}{10} \cdot \frac{100}{9} + \frac{20}{3} = -\frac{10}{3} + \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{10}{3}, \frac{10}{3})$.
Ответ: парабола.

3) Преобразуем уравнение $xy - 3 = 0$.
$xy = 3$
При $x \neq 0$ можно выразить $y$:
$y = \frac{3}{x}$
Это уравнение является уравнением обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=3 > 0$. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Ответ: гипербола.

4) Рассмотрим уравнение $(2x - 3)y = 2$.
Чтобы выразить $y$ через $x$, необходимо, чтобы множитель $(2x - 3)$ не был равен нулю, то есть $2x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{3}{2}$.
При этом условии: $y = \frac{2}{2x - 3}$.
Это уравнение также задает гиперболу. Ее можно получить из графика $y = \frac{1}{x}$ с помощью преобразований. Запишем $y = \frac{2}{2(x - 3/2)} = \frac{1}{x - 3/2}$. Это гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на $\frac{3}{2}$ единицы по оси Ox.
Вертикальной асимптотой является прямая $x = \frac{3}{2}$. Горизонтальной асимптотой является прямая $y = 0$.
Ответ: гипербола.