Вопросы, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример уравнения с двумя переменными первой, второй, третьей и четвертой степени.

2. Приведите пример линейного и нелинейного уравнения с двумя переменными.

3. Что общего и в чем различие линейного и нелинейного уравнения с двумя переменными?

4. Сколько решений может иметь уравнение с двумя переменными?

5. Приведите пример уравнения, графиком которого является: парабола; гипербола; прямая; окружность.

1. Степень уравнения с двумя переменными определяется по наибольшей степени его членов. Степень члена — это сумма показателей степеней переменных, входящих в этот член.

Уравнение первой степени: Переменные входят в уравнение в первой степени. Например, $2x + 3y = 7$. Здесь степень каждого члена с переменной равна 1.

Уравнение второй степени: Наибольшая степень члена равна 2. Например, $x^2 + y^2 = 25$. Здесь степень члена $x^2$ равна 2, и степень члена $y^2$ равна 2. Другой пример: $y = 3x^2 - 5x + 1$.

Уравнение третьей степени: Наибольшая степень члена равна 3. Например, $y = x^3$. Здесь степень члена $x^3$ равна 3. Другой пример: $x^2y + x = 5$. Степень члена $x^2y$ равна $2+1=3$.

Уравнение четвертой степени: Наибольшая степень члена равна 4. Например, $x^4 + y^4 = 1$. Степень членов $x^4$ и $y^4$ равна 4.

Ответ: Первая степень: $x - y = 10$;Вторая степень: $x^2 + y = 4$;Третья степень: $y = x^3 - 2x$;Четвертая степень: $x^4 + y = 15$.

2. Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — числа, причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Нелинейное уравнение — это любое уравнение, которое не является линейным, то есть содержит переменные в степени выше первой, произведения переменных или переменные под знаком корня, модуля, тригонометрической функции и т.д.

Пример линейного уравнения: $5x - 2y = 8$. Все переменные находятся в первой степени.

Пример нелинейного уравнения: $xy = 12$. Здесь есть произведение переменных, что делает уравнение нелинейным. Другой пример: $y = x^2 + 1$. Здесь переменная $x$ во второй степени.

Ответ: Пример линейного уравнения: $3x + y = 5$.Пример нелинейного уравнения: $x^2 + y^2 = 1$.

3. Сравнение линейного и нелинейного уравнений с двумя переменными:

Общее:
1. Оба являются уравнениями, то есть равенствами, содержащими переменные.
2. Оба содержат две переменные (например, $x$ и $y$).
3. Решением для обоих уравнений является упорядоченная пара чисел $(x, y)$, которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
4. Оба типа уравнений могут иметь бесконечное множество решений.
5. График каждого уравнения можно построить на координатной плоскости.

Различия:
1. Форма и степень: Линейное уравнение всегда можно привести к виду $ax + by = c$, его степень равна 1. Нелинейные уравнения имеют разнообразные формы, а их степень — 2 или выше.
2. График: Графиком линейного уравнения с двумя переменными всегда является прямая линия. Графиком нелинейного уравнения является кривая линия (парабола, гипербола, окружность, и т.д.) или совокупность линий.
3. Свойства: У линейного уравнения постоянный наклон (скорость изменения одной переменной относительно другой). У нелинейного уравнения наклон графика меняется.

Ответ: Общее заключается в том, что они оба являются равенствами с двумя переменными и их решениями являются пары чисел. Различие — в степени уравнения и форме графика: у линейного это всегда прямая, у нелинейного — кривая.

4. Уравнение с двумя переменными может иметь:

1. Ни одного решения. Это происходит, когда ни одна пара чисел $(x, y)$ не может удовлетворить равенству. Например, уравнение $x^2 + y^2 = -1$. Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, их сумма не может быть отрицательной.

2. Конечное число решений. Обычно это одно решение. Например, уравнение $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. То есть $x - 5 = 0$ и $y + 2 = 0$, что дает единственное решение $(5, -2)$.

3. Бесконечно много решений. Это самый частый случай. Любая точка на графике уравнения является его решением. Например, для линейного уравнения $x + y = 3$ существует бесконечно много пар чисел, удовлетворяющих ему (например, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(3, 0)$ и т.д.). То же самое верно для нелинейного уравнения $y = x^2$.

Ответ: Уравнение с двумя переменными может не иметь решений, иметь конечное число решений (например, одно) или иметь бесконечно много решений.

5. Примеры уравнений для заданных графиков:

Парабола: График квадратичной функции. Каноническое уравнение: $y = ax^2 + bx + c$.
Пример: $y = x^2$.

Гипербола: График обратной пропорциональности. Каноническое уравнение: $y = k/x$ или $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Пример: $y = \frac{1}{x}$ или, что то же самое, $xy = 1$.

Прямая: График линейного уравнения. Каноническое уравнение: $ax + by = c$ или $y = kx + m$.
Пример: $2x + y = 4$ или $y = -2x + 4$.

Окружность: Множество точек, равноудаленных от центра. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
Пример окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 5: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: Парабола: $y = 2x^2 - 1$;Гипербола: $xy = 6$;Прямая: $y = 3x - 5$;Окружность: $x^2 + y^2 = 9$.