Номер 66, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

66. Для годовых отметок Алии за 8 класс составлена таблица абсолютных частот случайной величины полученных отметок (табл. 1).

Таблица 1

Заполните таблицу и найдите:

1) среднее арифметическое значение;

2) дисперсию отметок Алии.

Сначала заполним таблицу, рассчитав относительные частоты. Относительная частота находится как отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений.

1. Найдем общее число отметок (объем выборки $N$):

$N = 5 + 6 + 4 = 15$

2. Рассчитаем относительную частоту для каждой отметки:

Для отметки «3»: $\frac{5}{15}$

Для отметки «4»: $\frac{6}{15}$

Для отметки «5»: $\frac{4}{15}$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Теперь найдем требуемые величины.

1) среднее арифметическое значение;

Среднее арифметическое значение (или математическое ожидание) для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ - значение отметки, $n_i$ - соответствующая абсолютная частота, $N$ - общее число отметок.

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{15} = \frac{15 + 24 + 20}{15} = \frac{59}{15}$

$\bar{x} \approx 3.93$

Ответ: среднее арифметическое значение равно $\frac{59}{15}$ (приблизительно $3.93$).

2) дисперсию отметок Алии.

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Для удобства расчетов можно использовать другую формулу:

$D(X) = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N} - (\bar{x})^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов отметок $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 6 + 5^2 \cdot 4}{15} = \frac{9 \cdot 5 + 16 \cdot 6 + 25 \cdot 4}{15} = \frac{45 + 96 + 100}{15} = \frac{241}{15}$

Теперь вычислим дисперсию, используя найденное среднее $\bar{x} = \frac{59}{15}$:

$D(X) = \frac{241}{15} - \left(\frac{59}{15}\right)^2 = \frac{241}{15} - \frac{3481}{225}$

Приведем дроби к общему знаменателю 225:

$D(X) = \frac{241 \cdot 15}{15 \cdot 15} - \frac{3481}{225} = \frac{3615}{225} - \frac{3481}{225} = \frac{3615 - 3481}{225} = \frac{134}{225}$

$D(X) \approx 0.596$

Ответ: дисперсия отметок Алии равна $\frac{134}{225}$ (приблизительно $0.596$).