Номер 61, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

61. 1) Для сада выделен участок земли прямоугольной формы. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если этот участок заменить участком квадратной формы такой же площади. Для этого надо длину выделенного участка уменьшить на 40 м, а ширину увеличить на 30 м. Какова длина и ширина выделенного участка?

Пусть первоначальная длина участка равна $L$ (м), а ширина равна $W$ (м). Площадь участка $S = LW$. Новые измерения для квадратного участка: длина $L_k = L - 40$ (м), ширина $W_k = W + 30$ (м). Так как новый участок квадратной формы, его стороны равны: $L - 40 = W + 30$ Площадь нового участка $S_k = (L - 40)(W + 30)$. По условию площадь не изменилась: $LW = (L - 40)(W + 30)$

2) Для школьной площадки выделен участок земли прямоугольной формы. Если его заменить участком такой же площади квадратной формы, то потребуется меньше материала для его огораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12 м, ширину увеличить на 10 м. Чему равна длина стороны участка квадратной формы?

Пусть первоначальная длина участка равна $L$ (м), а ширина равна $W$ (м). Площадь участка $S = LW$. Новые измерения для квадратного участка: длина $L_k = L - 12$ (м), ширина $W_k = W + 10$ (м). Так как новый участок квадратной формы, его стороны равны: $L - 12 = W + 10$ Площадь нового участка $S_k = (L - 12)(W + 10)$. По условию площадь не изменилась: $LW = (L - 12)(W + 10)$

3) Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м². Для этого длину садового участка увеличили на 10 м, ширину — на 2 м. Найдите площадь нового садового участка.

Пусть первоначальная ширина садового участка равна $W$ (м). Тогда его длина $L = W + 10$ (м). Первоначальная площадь $S = W(W + 10)$. Новая длина участка $L_{нов} = (W + 10) + 10 = W + 20$ (м). Новая ширина участка $W_{нов} = W + 2$ (м). Новая площадь $S_{нов} = (W + 20)(W + 2)$. По условию площадь увеличилась на 400 м²: $(W + 20)(W + 2) = W(W + 10) + 400$

4) Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, ширину — на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м². Найдите площадь образовавшейся строительной площадки.

Пусть первоначальная ширина строительной площадки равна $W$ (м). Тогда ее длина $L = W + 25$ (м). Первоначальная площадь $S = W(W + 25)$. Новая длина площадки $L_{нов} = (W + 25) + 5 = W + 30$ (м). Новая ширина площадки $W_{нов} = W + 4$ (м). Новая площадь $S_{нов} = (W + 30)(W + 4)$. По условию площадь увеличилась на 300 м²: $(W + 30)(W + 4) = W(W + 25) + 300$

1) Пусть $l$ - первоначальная длина участка, а $w$ - его первоначальная ширина (в метрах). Площадь прямоугольного участка равна $S_1 = l \cdot w$.
После изменений длина стала $l - 40$ м, а ширина $w + 30$ м. Новый участок имеет квадратную форму, значит, его стороны равны: $l - 40 = w + 30$.
Площадь нового участка (квадрата) равна $S_2 = (l - 40)^2$ (или $(w + 30)^2$). По условию, площади участков равны, то есть $S_1 = S_2$.
Получаем систему уравнений:
$l - 40 = w + 30$
$l \cdot w = (l - 40)^2$
Из первого уравнения выразим $l$: $l = w + 30 + 40$, то есть $l = w + 70$.
Подставим это выражение для $l$ во второе уравнение:
$(w + 70) \cdot w = ((w + 70) - 40)^2$
$w^2 + 70w = (w + 30)^2$
$w^2 + 70w = w^2 + 2 \cdot w \cdot 30 + 30^2$
$w^2 + 70w = w^2 + 60w + 900$
$70w - 60w = 900$
$10w = 900$
$w = 90$ м.
Теперь найдем первоначальную длину:
$l = w + 70 = 90 + 70 = 160$ м.
Ответ: длина выделенного участка 160 м, ширина 90 м.

2) Пусть $l$ и $w$ - первоначальные длина и ширина прямоугольного участка, а $a$ - сторона квадратного участка (в метрах).
Площадь прямоугольного участка $S_{прям} = l \cdot w$. Площадь квадратного участка $S_{квад} = a^2$. По условию, площади равны: $l \cdot w = a^2$.
Чтобы получить квадратный участок, длину уменьшили на 12 м, а ширину увеличили на 10 м. Это значит, что сторона квадрата $a$ связана с первоначальными размерами следующими соотношениями:
$a = l - 12$
$a = w + 10$
Приравняем правые части: $l - 12 = w + 10$, откуда $l = w + 22$.
Подставим выражения для $l$ и $a$ в уравнение равенства площадей $l \cdot w = a^2$:
$(w + 22) \cdot w = (w + 10)^2$
$w^2 + 22w = w^2 + 20w + 100$
$22w - 20w = 100$
$2w = 100$
$w = 50$ м.
Теперь найдем сторону квадратного участка $a$:
$a = w + 10 = 50 + 10 = 60$ м.
Ответ: сторона участка квадратной формы равна 60 м.

3) Пусть $w_1$ - первоначальная ширина садового участка, тогда его первоначальная длина $l_1 = w_1 + 10$ (в метрах).
Первоначальная площадь участка: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (w_1 + 10) \cdot w_1 = w_1^2 + 10w_1$.
Длину увеличили на 10 м, а ширину уменьшили на 2 м. Новые размеры:
Новая длина $l_2 = l_1 + 10 = (w_1 + 10) + 10 = w_1 + 20$.
Новая ширина $w_2 = w_1 - 2$.
Новая площадь участка: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = (w_1 + 20)(w_1 - 2)$.
По условию, новая площадь на 400 м² больше первоначальной: $S_2 = S_1 + 400$.
Составим уравнение:
$(w_1 + 20)(w_1 - 2) = (w_1^2 + 10w_1) + 400$
$w_1^2 - 2w_1 + 20w_1 - 40 = w_1^2 + 10w_1 + 400$
$w_1^2 + 18w_1 - 40 = w_1^2 + 10w_1 + 400$
$18w_1 - 10w_1 = 400 + 40$
$8w_1 = 440$
$w_1 = 55$ м.
Первоначальная площадь $S_1 = 55^2 + 10 \cdot 55 = 3025 + 550 = 3575$ м².
Найдем площадь нового садового участка $S_2$:
$S_2 = S_1 + 400 = 3575 + 400 = 3975$ м².
Ответ: площадь нового садового участка 3975 м².

4) Пусть $w_1$ - первоначальная ширина строительной площадки, тогда ее первоначальная длина $l_1 = w_1 + 25$ (в метрах).
Первоначальная площадь площадки: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (w_1 + 25) \cdot w_1 = w_1^2 + 25w_1$.
При утверждении плана длину увеличили на 5 м, а ширину уменьшили на 4 м. Новые размеры:
Новая длина $l_2 = l_1 + 5 = (w_1 + 25) + 5 = w_1 + 30$.
Новая ширина $w_2 = w_1 - 4$.
Новая площадь площадки: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = (w_1 + 30)(w_1 - 4)$.
По условию, новая площадь на 300 м² больше первоначальной: $S_2 = S_1 + 300$.
Составим уравнение:
$(w_1 + 30)(w_1 - 4) = (w_1^2 + 25w_1) + 300$
$w_1^2 - 4w_1 + 30w_1 - 120 = w_1^2 + 25w_1 + 300$
$w_1^2 + 26w_1 - 120 = w_1^2 + 25w_1 + 300$
$26w_1 - 25w_1 = 300 + 120$
$w_1 = 420$ м.
Найдем первоначальную площадь: $S_1 = 420^2 + 25 \cdot 420 = 176400 + 10500 = 186900$ м².
Задача спрашивает площадь образовавшейся строительной площадки $S_2$:
$S_2 = S_1 + 300 = 186900 + 300 = 187200$ м².
Ответ: площадь образовавшейся строительной площадки 187200 м².