Номер 56, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

56. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $x + \sqrt{x^2 - 3x - 10};$

2) $2x - \sqrt{x^2 - 4x - 12};$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x - 8} + \frac{1}{x - 2};$

4) $\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \frac{1}{x - 8};$

5) $\sqrt{x^2 - 4x - 1} + \frac{1}{x^2 - 1};$

6) $\sqrt{-x^2 + 4x + 32} + \frac{1}{x^2 - 9};$

7) $\sqrt{2x^2 - 6x - 9} + \sqrt{x + 2};$

8) $\sqrt{-2x^2 - 4x + 10} - \sqrt{3 - x}?$

1) Выражение $x + \sqrt{x^2 - 3x - 10}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 3x - 10 \ge 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$; $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$.

2) Выражение $2x - \sqrt{x^2 - 4x - 12}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$x^2 - 4x - 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$; $x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 6$.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

3) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{3x^2 - 5x - 8} + \frac{1}{x-2}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $3x^2 - 5x - 8 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x - 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 8 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x - 8$ направлены вверх, значит $3x^2 - 5x - 8 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Из второго условия получаем $x \neq 2$.

Объединим условия. Число 2 не входит в полученные промежутки, так как $2 < \frac{8}{3}$ (примерно 2.67). Следовательно, второе условие уже выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

4) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \frac{1}{x-8}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $5x^2 + 4x - 1 \ge 0$.

2. $x - 8 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни $5x^2 + 4x - 1 = 0$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

$x_1 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$; $x_2 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ветви параболы $y = 5x^2 + 4x - 1$ направлены вверх, значит $5x^2 + 4x - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

Из второго условия $x \neq 8$.

Объединим условия. Так как $8$ входит в промежуток $[\frac{1}{5}, +\infty)$, его необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{5}, 8) \cup (8, +\infty)$.

5) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{x^2 - 4x - 1} + \frac{1}{x^2 - 1}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $x^2 - 4x - 1 \ge 0$.

2. $x^2 - 1 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни $x^2 - 4x - 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. $\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}$; $x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ветви параболы направлены вверх, значит $x^2 - 4x - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}] \cup [2 + \sqrt{5}, +\infty)$.

Решим второе условие: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Объединим условия. $\sqrt{5} \approx 2.24$, значит $2 - \sqrt{5} \approx -0.24$. Так как $-1 < -0.24$, точка $x=-1$ попадает в область $(-\infty, 2 - \sqrt{5}]$ и должна быть исключена. Точка $x=1$ не попадает в найденные промежутки, так как $-0.24 < 1 < 2+\sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2-\sqrt{5}] \cup [2+\sqrt{5}, +\infty)$.

6) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{-x^2 + 4x + 32} + \frac{1}{x^2 - 9}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $-x^2 + 4x + 32 \ge 0$.

2. $x^2 - 9 \neq 0$.

Решим первое неравенство, умножив его на -1 и изменив знак: $x^2 - 4x - 32 \le 0$.

Найдем корни $x^2 - 4x - 32 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

$x_1 = \frac{4 - 12}{2} = -4$; $x_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 32$ направлены вверх, значит она принимает неположительные значения между корнями: $x \in [-4, 8]$.

Решим второе условие: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Обе точки $x=3$ и $x=-3$ входят в отрезок $[-4, 8]$, поэтому их необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, 8]$.

7) Выражение $\sqrt{2x^2 - 6x - 9} + \sqrt{x+2}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 6x - 9 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 6x - 9 \ge 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 36 + 72 = 108$. $\sqrt{D} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{4} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$; $x_2 = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$, то есть $x \in [-2, +\infty)$.

Найдем пересечение этих множеств. Сравним $-2$ и $\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$. Так как $27 < 49 \Rightarrow 3\sqrt{3} < 7 \Rightarrow -3\sqrt{3} > -7 \Rightarrow 3 - 3\sqrt{3} > -4 \Rightarrow \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} > -2$.

Пересечение $[-2, +\infty)$ с $(-\infty, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}]$ дает отрезок $[-2, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}]$.

Пересечение $[-2, +\infty)$ с $[\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$ дает промежуток $[\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in [-2, \frac{3-3\sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{3+3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

8) Предположим, что в условии опечатка и выражение имеет вид $\sqrt{-2x^2 - 4x + 10} - \sqrt[3]{3-x}$.

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение квадратного корня неотрицательно. Выражение под знаком кубического корня может быть любым действительным числом.

Решим неравенство: $-2x^2 - 4x + 10 \ge 0$.

Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $x^2 + 2x - 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 5 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. $\sqrt{D} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{2} = -1 - \sqrt{6}$; $x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{2} = -1 + \sqrt{6}$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 5$ направлены вверх, значит она принимает неположительные значения между корнями.

Решение неравенства: $x \in [-1 - \sqrt{6}, -1 + \sqrt{6}]$.

Ответ: $x \in [-1 - \sqrt{6}, -1 + \sqrt{6}]$.