Номер 54, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x + 1)^2(x - 4) > 0;$

2) $(x + 2)(x - 3)^2 \ge 0;$

3) $x^2 - 5x < -x + 5;$

4) $-2x^2 - x > 2x - 5.$

1) $(x + 1)^2(x - 4) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю:
$(x + 1)^2(x - 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми.
Множитель $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю при $x = -1$ и положителен при всех остальных $x$). Поскольку он стоит в четной степени, знак выражения при переходе через точку $x = -1$ не меняется.
Множитель $(x - 4)$ стоит в нечетной степени (1), поэтому знак выражения при переходе через точку $x = 4$ будет меняться.
Определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 + 1)^2(5 - 4) = 6^2 \cdot 1 = 36 > 0$. Ставим знак "+".
• При $-1 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0 + 1)^2(0 - 4) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$. Ставим знак "−".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2 + 1)^2(-2 - 4) = (-1)^2 \cdot (-6) = -6 < 0$. Ставим знак "−".

Изобразим это на числовой оси:

Нас интересует интервал, где выражение больше нуля. Это интервал $(4, +\infty)$.
Наименьшее целое число, которое принадлежит этому интервалу, это 5.
Ответ: 5

2) $(x + 2)(x - 3)^2 \geq 0$

Решаем методом интервалов.
Находим корни: $(x + 2)(x - 3)^2 = 0$.
Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Неравенство нестрогое ($\geq 0$), поэтому точки на числовой оси будут закрашенными.
Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен, и знак выражения не меняется при переходе через точку $x = 3$.
Множитель $(x + 2)$ в нечетной степени, поэтому знак меняется при переходе через $x = -2$.
Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 + 2)(4 - 3)^2 = 6 \cdot 1^2 = 6 > 0$. Ставим знак "+".
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0 + 2)(0 - 3)^2 = 2 \cdot 9 = 18 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 + 2)(-3 - 3)^2 = -1 \cdot 36 = -36 < 0$. Ставим знак "−".

Изобразим на числовой оси:

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов $(-2, 3) \cup (3, +\infty)$ и точек, где выражение равно нулю, то есть $x=-2$ и $x=3$.
Таким образом, решением является множество $[-2, +\infty)$.
Наименьшее целое число из этого множества — это -2.
Ответ: -2

3) $x^2 - 5x < -x + 5$

Это квадратичное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 5x + x - 5 < 0$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Значения функции отрицательны между корнями.
Поскольку неравенство строгое ($<0$), корни не включаются в решение.
Решение: $x \in (-1, 5)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2, 3, 4.
Наименьшее из них — 0.
Ответ: 0

4) $-2x^2 - x > 2x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:
$-2x^2 - x - 2x + 5 > 0$
$-2x^2 - 3x + 5 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$2x^2 + 3x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ является парабола с ветвями вверх. Нас интересует, где она находится ниже оси $x$ (т.е. $<0$). Это происходит между корнями.
Так как неравенство строгое, решением является интервал $x \in (-2.5, 1)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -2, -1, 0.
Наименьшее из этих целых чисел — -2.
Ответ: -2