Номер 53, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. Решите неравенство:

1) $(x - 8)(x + 3) \ge 0;$

2) $(7 + x)(2 - x) \le 0;$

3) $x(9 - x) < 0;$

4) $x(x - 6) > 0;$

5) $\frac{x + 4}{5 - x} > 0;$

6) $\frac{6 - x}{6 + x} \le 0;$

7) $\frac{x + 4,5}{x(4,5 - x)} \ge 0;$

8) $\frac{x(x + 1)}{2 - x} > 0;$

9) $(x - 3)(x + 3) \ge x^2 + 5x - 4;$

10) $x^2 + 5x - 4 \le 2;$

11) $x^2 + 3x - 4 > 6x;$

12) $9x^2 - 6x + 1 \le 0.$

1) $(x - 8)(x + 3) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Левая часть уже разложена на множители. Решим его методом интервалов.Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 8)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -3$.Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $(x - 8)(x + 3)$ в каждом интервале:

• При $x > 8$ (например, $x = 10$): $(10 - 8)(10 + 3) = 2 \cdot 13 = 26 > 0$. Знак «+».
• При $-3 < x < 8$ (например, $x = 0$): $(0 - 8)(0 + 3) = -8 \cdot 3 = -24 < 0$. Знак «-».
• При $x < -3$ (например, $x = -4$): $(-4 - 8)(-4 + 3) = -12 \cdot (-1) = 12 > 0$. Знак «+».

Нанесем знаки на числовую прямую:

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty)$.

2) $(7 + x)(2 - x) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(7 + x)(2 - x) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -7$ и $x = 2$ включаются в решение. Отметим их на числовой прямой закрашенными кружками.Определим знаки выражения в интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, 2)$, $(2, \infty)$.Обратим внимание, что множитель $(2-x)$ имеет отрицательный коэффициент при $x$. Поэтому знаки будут чередоваться как «-», «+», «-».

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(7+3)(2-3) = 10 \cdot (-1) = -10 < 0$. Знак «-».
• При $-7 < x < 2$ (например, $x=0$): $(7+0)(2-0) = 14 > 0$. Знак «+».
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(7-8)(2-(-8)) = -1 \cdot 10 = -10 < 0$. Знак «-».

Изобразим на числовой прямой:

Выбираем интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [2, \infty)$.

3) $x(9 - x) < 0$

Метод интервалов. Корни уравнения $x(9 - x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.Неравенство строгое ($<$), поэтому точки $x = 0$ и $x = 9$ не включаются в решение (выколотые точки).Знаки в интервалах: «-», «+», «-» (из-за множителя $(9-x)$).

Нам нужны интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, \infty)$.

4) $x(x - 6) > 0$

Метод интервалов. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Неравенство строгое ($>$), точки выколотые.Знаки в интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 6)$, $(6, \infty)$ будут «+», «-», «+».

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

5) $\frac{x + 4}{5 - x} > 0$

Решаем рациональное неравенство методом интервалов.Находим нули числителя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.Находим нули знаменателя: $5 - x = 0 \implies x = 5$.Отмечаем точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (знаменатель не может быть равен нулю в любом случае).Знаки в интервалах: «-», «+», «-».

Нам нужен интервал со знаком «+».

Ответ: $x \in (-4, 5)$.

6) $\frac{6 - x}{6 + x} \le 0$

Метод интервалов. Нуль числителя: $6 - x = 0 \implies x = 6$. Нуль знаменателя: $6 + x = 0 \implies x = -6$.Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нуль числителя ($x=6$) включаем в решение (закрашенная точка). Нуль знаменателя ($x=-6$) всегда исключается (выколотая точка).Знаки в интервалах: «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «-», включая закрашенную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup [6, \infty)$.

7) $\frac{x + 4.5}{x(4.5 - x)} \ge 0$

Метод интервалов. Нуль числителя: $x = -4.5$. Нули знаменателя: $x = 0$ и $x = 4.5$.Точка $x = -4.5$ включается (закрашенная), точки $x = 0$ и $x = 4.5$ исключаются (выколотые).Определим знаки в интервалах.При $x>4.5$ (например, $x=5$): $\frac{5+4.5}{5(4.5-5)} = \frac{+}{+(-)} = -$.Далее знаки чередуются: «+», «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -4.5] \cup (0, 4.5)$.

8) $\frac{x(x + 1)}{2 - x} > 0$

Метод интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1$. Нуль знаменателя: $x=2$.Неравенство строгое, все точки выколотые.Знаки: «+», «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

9) $(x - 3)(x + 3) \ge x^2 + 5x - 4$

Сначала упростим неравенство. Раскроем скобки в левой части по формуле разности квадратов:

$x^2 - 3^2 \ge x^2 + 5x - 4$

$x^2 - 9 \ge x^2 + 5x - 4$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-9 + 4 \ge x^2 - x^2 + 5x$

$-5 \ge 5x$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

$-1 \ge x$, что эквивалентно $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

10) $x^2 + 5x - 4 \le 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:

$x^2 + 5x - 4 - 2 \le 0$

$x^2 + 5x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-5$, произведение $-6$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.Неравенство можно записать как $(x+6)(x-1) \le 0$.Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 6$ направлены вверх, значения функции будут меньше или равны нулю между корнями (включая корни).Точки $x=-6$ и $x=1$ включаются в решение.

Выбираем интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in [-6, 1]$.

11) $x^2 + 3x - 4 > 6x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + 3x - 6x - 4 > 0$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 3, произведение -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.Неравенство можно записать как $(x-4)(x+1) > 0$.Ветви параболы направлены вверх, поэтому значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Неравенство строгое, поэтому точки $x=4$ и $x=-1$ не включаются в решение.

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

12) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(3x - 1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$.Следовательно, неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(3x - 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Решением неравенства является единственная точка.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.