Номер 46, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*46. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 12 = 0;$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0;$

3) $x^2 - \sqrt{x^2} - 20 = 0;$

4) $x^2 - 7\sqrt{x^2} - 8 = 0;$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{4 - x} = 0;$

6) $(x^2 - 49)\sqrt{8 - 2x} = 0;$

7) $(81 - x^2)\sqrt{9 - 2x} = 0;$

8) $(144 - x^2)\sqrt{5x - 15} = 0.$

1) $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 12 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Упростим уравнение, учитывая, что $(\sqrt{x})^2 = x$ при $x \ge 0$: $x^2 - 4x - 12 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$. $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому это посторонний корень. Единственным решением является $x = 6$.

Ответ: $6$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0$

ОДЗ: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Упростим уравнение: $(\sqrt{x - 2})^2 = x - 2$. $x^2 - 2(x - 2) - 7 = 0$ $x^2 - 2x + 4 - 7 = 0$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ $x_1 \cdot x_2 = -3$ Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$). $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$. $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 2$. Решением является $x = 3$.

Ответ: $3$

3) $x^2 - \sqrt{x^2} - 20 = 0$

ОДЗ: $x^2 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$. Упростим уравнение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $x^2 - |x| - 20 = 0$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 - t - 20 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$ $t_1 \cdot t_2 = -20$ Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$. Так как $t = |x| \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Остается $t_1 = 5$. Сделаем обратную замену: $|x| = 5$. Отсюда $x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $-5; 5$

4) $x^2 - 7\sqrt{x^2} - 8 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Упростим, используя $\sqrt{x^2} = |x|$ и $x^2 = |x|^2$: $|x|^2 - 7|x| - 8 = 0$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 - 7t - 8 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ $t_1 \cdot t_2 = -8$ Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t_1 = 8$. Обратная замена: $|x| = 8$. Следовательно, $x = 8$ или $x = -8$.

Ответ: $-8; 8$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{4 - x} = 0$

ОДЗ: $4 - x \ge 0$, то есть $x \le 4$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. 1) $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$. 2) $\sqrt{4 - x} = 0 \Rightarrow 4 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 4$. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$). $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($5 > 4$). $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ ($-5 \le 4$). $x_3 = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \le 4$). Решениями являются $x = -5$ и $x = 4$.

Ответ: $-5; 4$

6) $(x^2 - 49)\sqrt{8 - 2x} = 0$

ОДЗ: $8 - 2x \ge 0 \Rightarrow 8 \ge 2x \Rightarrow x \le 4$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7$. 2) $\sqrt{8 - 2x} = 0 \Rightarrow 8 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_3 = 4$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$). $x_1 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ ($7 > 4$). $x_2 = -7$ удовлетворяет ОДЗ ($-7 \le 4$). $x_3 = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \le 4$). Решения: $x = -7$ и $x = 4$.

Ответ: $-7; 4$

7) $(81 - x^2)\sqrt{9 - 2x} = 0$

ОДЗ: $9 - 2x \ge 0 \Rightarrow 9 \ge 2x \Rightarrow x \le 4.5$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $81 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x_1 = 9, x_2 = -9$. 2) $\sqrt{9 - 2x} = 0 \Rightarrow 9 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x_3 = 4.5$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4.5$). $x_1 = 9$ не удовлетворяет ОДЗ ($9 > 4.5$). $x_2 = -9$ удовлетворяет ОДЗ ($-9 \le 4.5$). $x_3 = 4.5$ удовлетворяет ОДЗ ($4.5 \le 4.5$). Решения: $x = -9$ и $x = 4.5$.

Ответ: $-9; 4.5$

8) $(144 - x^2)\sqrt{5x - 15} = 0$

ОДЗ: $5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $144 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x_1 = 12, x_2 = -12$. 2) $\sqrt{5x - 15} = 0 \Rightarrow 5x - 15 = 0 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x_3 = 3$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$). $x_1 = 12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 3$). $x_2 = -12$ не удовлетворяет ОДЗ ($-12 < 3$). $x_3 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$). Решения: $x = 3$ и $x = 12$.

Ответ: $3; 12$