Номер 44, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*44. Найдите значения параметра a, при которых имеет действительные корни уравнение:

1) $x^2 - 2(a - 2)x + a = 0;$

2) $x^2 + 2(a - 4)x + 4 - a = 0;$

3) $x^2 - 2(a + 3)x + 4a - 1 = 0;$

4) $x^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 4 = 0.$

1)Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Для уравнения $x^2 - 2(a - 2)x + a = 0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=-2(a-2)$, $C=a$. Поскольку коэффициент $B$ является четным числом, удобнее вычислить четверть дискриминанта $D/4 = (B/2)^2 - AC$.
$D/4 = (-(a-2))^2 - 1 \cdot a = (a-2)^2 - a = a^2 - 4a + 4 - a = a^2 - 5a + 4$.
Условие наличия действительных корней $D/4 \ge 0$ принимает вид:
$a^2 - 5a + 4 \ge 0$.
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $a_1=1$ и $a_2=4$. Парабола $y=a^2 - 5a + 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится за пределами интервала между корнями. Следовательно, $a \le 1$ или $a \ge 4$.
Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

2)Рассмотрим уравнение $x^2 + 2(a - 4)x + 4 - a = 0$. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$). Вычислим четверть дискриминанта $D/4$:
$D/4 = (a-4)^2 - 1 \cdot (4 - a) = (a^2 - 8a + 16) - 4 + a = a^2 - 7a + 12$.
Решим неравенство $D/4 \ge 0$:
$a^2 - 7a + 12 \ge 0$.
Корни уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$ по теореме Виета равны $a_1=3$ и $a_2=4$. Парабола $y = a^2 - 7a + 12$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство справедливо для значений $a$ вне интервала между корнями. Таким образом, $a \le 3$ или $a \ge 4$.
Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$.

3)Рассмотрим уравнение $x^2 - 2(a + 3)x + 4a - 1 = 0$. Найдем четверть дискриминанта $D/4$:
$D/4 = (-(a+3))^2 - 1 \cdot (4a - 1) = (a+3)^2 - 4a + 1 = a^2 + 6a + 9 - 4a + 1 = a^2 + 2a + 10$.
Решим неравенство $D/4 \ge 0$:
$a^2 + 2a + 10 \ge 0$.
Рассмотрим левую часть неравенства как квадратичную функцию от $a$: $y(a) = a^2 + 2a + 10$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D_a = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$. Поскольку дискриминант $D_a$ отрицателен, а старший коэффициент (при $a^2$) положителен, парабола $y(a)$ полностью расположена выше оси абсцисс, и, следовательно, выражение $a^2 + 2a + 10$ всегда положительно. Другой способ это показать — выделить полный квадрат: $a^2 + 2a + 10 = (a^2 + 2a + 1) + 9 = (a + 1)^2 + 9$. Так как $(a + 1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a + 1)^2 + 9 \ge 9$. Таким образом, неравенство $a^2 + 2a + 10 \ge 0$ выполняется при любых действительных значениях $a$.
Ответ: $a \in (-\infty, +\infty)$.

4)Рассмотрим уравнение $x^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 4 = 0$. Вычислим четверть дискриминанта $D/4$. Здесь коэффициент при $x$ равен $B=4(a-5)$, поэтому $B/2 = 2(a-5)$.
$D/4 = (2(a-5))^2 - 1 \cdot (4a^2 - 4) = 4(a-5)^2 - 4a^2 + 4$.
Раскроем скобки:
$D/4 = 4(a^2 - 10a + 25) - 4a^2 + 4 = 4a^2 - 40a + 100 - 4a^2 + 4 = -40a + 104$.
Условие $D/4 \ge 0$ принимает вид:
$-40a + 104 \ge 0$.
Это линейное неравенство. Решим его относительно $a$:
$104 \ge 40a$
$a \le \frac{104}{40}$.
Сократим дробь: $a \le \frac{26}{10}$, то есть $a \le 2.6$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2.6]$.