Номер 43, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*43. При каких значениях параметра $a$ равны по модулю, но противоположны по знаку корни уравнения:

1) $x^2 - (a - 6)x - 16 = 0$;

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$;

3) $4x^2 - (2a^2 - 8)x - 144 = 0$;

4) $0,5x^2 - (a^2 - 25)x - 5 - a = 0$?

Для того чтобы корни квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ были равны по модулю, но противоположны по знаку (то есть, если $x_1$ и $x_2$ — корни, то $x_1 = -x_2$ и $x_1 \neq 0$), необходимо и достаточно выполнение двух условий, которые следуют из теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.

1. Сумма корней должна быть равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -B/A$. Следовательно, должно выполняться равенство $-B/A = 0$, что эквивалентно $B = 0$ (так как $A \neq 0$).

2. Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$. Это следует из того, что $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$, а так как корень $x_1$ должен быть ненулевым, то $-x_1^2 < 0$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = C/A$, следовательно, должно выполняться неравенство $C/A < 0$. Это условие также обеспечивает наличие двух различных действительных корней, так как дискриминант $D = B^2 - 4AC$ при $B=0$ равен $-4AC$, и если $C/A < 0$, то $AC < 0$, а значит $D = -4AC > 0$.

Применим эти два условия к каждому из предложенных уравнений.

1) $x^2 - (a - 6)x - 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = -(a - 6)$, $C = -16$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(a - 6) = 0$

$a - 6 = 0$

$a = 6$

Проверим условие $C/A < 0$:

$-16/1 = -16 < 0$.

Условие выполняется. Следовательно, искомое значение параметра $a$ равно 6.

Ответ: $a = 6$.

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 3$, $B = -(3a + 12)$, $C = -24$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(3a + 12) = 0$

$3a + 12 = 0$

$3a = -12$

$a = -4$

Проверим условие $C/A < 0$:

$-24/3 = -8 < 0$.

Условие выполняется. Следовательно, искомое значение параметра $a$ равно -4.

Ответ: $a = -4$.

3) $4x^2 - (2a^2 - 8)x - 144 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 4$, $B = -(2a^2 - 8)$, $C = -144$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(2a^2 - 8) = 0$

$2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

$a = 2$ или $a = -2$.

Проверим условие $C/A < 0$:

$-144/4 = -36 < 0$.

Условие выполняется для обоих найденных значений $a$.

Ответ: $a = 2, a = -2$.

4) $0,5x^2 - (a^2 - 25)x - 5 - a = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 0,5$, $B = -(a^2 - 25)$, $C = -5 - a$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(a^2 - 25) = 0$

$a^2 - 25 = 0$

$a^2 = 25$

$a = 5$ или $a = -5$.

Проверим условие $C/A < 0$ для найденных значений $a$:

$\frac{-5 - a}{0,5} < 0$

$-2(-5 - a) > 0$

$10 + 2a > 0$

$2a > -10$

$a > -5$

Теперь сопоставим полученные значения $a$ с этим условием.

- Для $a = 5$: $5 > -5$. Условие выполняется.

- Для $a = -5$: $-5 > -5$. Условие не выполняется (получается равенство, а не строгое неравенство). Если $a = -5$, то $C = 0$, и уравнение имеет вид $0,5x^2 = 0$, у которого один корень $x=0$.

Следовательно, подходит только значение $a = 5$.

Ответ: $a = 5$.