Номер 36, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. Решите уравнение:

1) $x^2 - 5x - 12 = 6;$

2) $x^2 - 5x - 4 = 10;$

3) $x^2 + 8x = -16 - 2x;$

4) $x^2 + x - 2 = 2 - 2x;$

5) $-x^2 + 3x - 12 = -4x;$

6) $9x - x^2 = 6 + 2x;$

7) $-x^2 + 5x = 18 - 6x;$

8) $x - 2x^2 + 7 = -1 - 5x;$

9) $2x - 3x^2 + 8 = -1 - 6x.$

1) $x^2 - 5x - 12 = 6$

Чтобы решить уравнение, сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.

$x^2 - 5x - 12 - 6 = 0$

$x^2 - 5x - 18 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=-18$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 25 + 72 = 97$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{97}}{2}, x_2 = \frac{5 + \sqrt{97}}{2}$.

2) $x^2 - 5x - 4 = 10$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 5x - 4 - 10 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-14$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: -2; 7.

3) $x^2 + 8x = -16 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 8x + 2x + 16 = 0$

$x^2 + 10x + 16 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=10$, $c=16$.

Вычислим дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: -8; -2.

4) $x^2 + x - 2 = 2 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + x + 2x - 2 - 2 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: -4; 1.

5) $-x^2 + 3x - 12 = -4x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 3x + 4x - 12 = 0$

$-x^2 + 7x - 12 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: 3; 4.

6) $9x - x^2 = 6 + 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 9x - 2x - 6 = 0$

$-x^2 + 7x - 6 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=6$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 1; 6.

7) $-x^2 + 5x = 18 - 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 5x + 6x - 18 = 0$

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-11$, $c=18$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 7}{2}$.

$x_1 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 2; 9.

8) $x - 2x^2 + 7 = -1 - 5x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-2x^2 + x + 5x + 7 + 1 = 0$

$-2x^2 + 6x + 8 = 0$

Разделим обе части на -2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: -1; 4.

9) $2x - 3x^2 + 8 = -1 - 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-3x^2 + 2x + 6x + 8 + 1 = 0$

$-3x^2 + 8x + 9 = 0$

Умножим на -1:

$3x^2 - 8x - 9 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=-9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 64 + 108 = 172$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 43}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{43}}{6}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{43})}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{43}}{3}, x_2 = \frac{4 + \sqrt{43}}{3}$.