Номер 34, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34. Найдите, не вычисляя корни, значения суммы и произведения корней уравнения:

1) $x^2 - 4x - 6 = 0$;

2) $x^2 + 12x - 2,5 = 0$;

3) $2x^2 - 14x + 5 = 0$;

4) $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не вычисляя сами корни, используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то их сумма и произведение равны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема Виета применима, если уравнение имеет действительные корни. Убедимся в этом для каждого случая, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 - 4x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = -6$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$.

Ответ: сумма корней 4, произведение корней -6.

2) $x^2 + 12x - 2,5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 12$, $c = -2,5$. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,5) = 144 + 10 = 154$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{12}{1} = -12$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2,5}{1} = -2,5$.

Ответ: сумма корней -12, произведение корней -2,5.

3) $2x^2 - 14x + 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -14$, $c = 5$. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 196 - 40 = 156$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-14}{2} = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: сумма корней 7, произведение корней 2,5.

4) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Ответ: сумма корней $\frac{5}{3}$, произведение корней $\frac{2}{3}$.