Номер 30, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30. Разложите на множители выражение:

1) $x^2 + 7x - 8;$

2) $x^2 - 10x - 11;$

3) $-2,5x^2 + 7,65x - 5,15;$

4) $3\frac{2}{3}x^2 + 4\frac{1}{3}x - 8.$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1, b=7, c=-8$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Подставляем найденные корни $x_1=1$ и $x_2=-8$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 1)(x - (-8)) = (x - 1)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 8)$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x - 11 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1, b=-10, c=-11$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Подставляем корни $x_1=11$ и $x_2=-1$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 11)(x - (-1)) = (x - 11)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x - 11)$

Найдем корни уравнения $-2,5x^2 + 7,65x - 5,15 = 0$. Здесь коэффициенты $a=-2,5, b=7,65, c=-5,15$.
Вычислим дискриминант:
$D = (7,65)^2 - 4 \cdot (-2,5) \cdot (-5,15) = 58,5225 - 10 \cdot 5,15 = 58,5225 - 51,5 = 7,0225$.
Найдем корни уравнения ($\sqrt{7,0225} = 2,65$):
$x_1 = \frac{-7,65 + \sqrt{7,0225}}{2 \cdot (-2,5)} = \frac{-7,65 + 2,65}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$.
$x_2 = \frac{-7,65 - \sqrt{7,0225}}{2 \cdot (-2,5)} = \frac{-7,65 - 2,65}{-5} = \frac{-10,3}{-5} = 2,06$.
Подставляем корни $x_1=1$ и $x_2=2,06$ и коэффициент $a=-2,5$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = -2,5(x - 1)(x - 2,06)$.

Ответ: $-2,5(x - 1)(x - 2,06)$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$, $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
Выражение примет вид: $\frac{11}{3}x^2 + \frac{13}{3}x - 8$.
Найдем корни уравнения $\frac{11}{3}x^2 + \frac{13}{3}x - 8 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на 3:
$11x^2 + 13x - 24 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=11, b=13, c=-24$.
Вычислим дискриминант:
$D = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-24) = 169 + 1056 = 1225$.
Найдем корни уравнения ($\sqrt{1225} = 35$):
$x_1 = \frac{-13 + 35}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$.
$x_2 = \frac{-13 - 35}{2 \cdot 11} = \frac{-48}{22} = -\frac{24}{11}$.
Подставляем корни $x_1=1$ и $x_2=-\frac{24}{11}$ и исходный коэффициент $a=\frac{11}{3}$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = \frac{11}{3}(x - 1)(x - (-\frac{24}{11})) = \frac{11}{3}(x - 1)(x + \frac{24}{11})$.
Для упрощения внесем множитель 11 из $\frac{11}{3}$ во вторую скобку:
$\frac{1}{3}(x - 1) \cdot 11(x + \frac{24}{11}) = \frac{1}{3}(x - 1)(11x + 24)$.

Ответ: $\frac{1}{3}(x - 1)(11x + 24)$