Номер 25, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$;

2) $\frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}}$;

3) $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$;

4) $\frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}}$;

5) $\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$;

6) $\frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $ 3 + \sqrt{3} $ является выражение $ 3 - \sqrt{3} $.
$ \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})} = \frac{3^2 - (\sqrt{3})^2}{3\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 3}{3\sqrt{3} - 3} = \frac{6}{3(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} $.
В результате числитель стал равен 2, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение, то есть на $ 2\sqrt{3} + 3 $.
$ \frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)}{4\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 3)} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{4 \cdot 3 - 9}{8 \cdot 3 + 12\sqrt{3}} = \frac{12 - 9}{24 + 12\sqrt{3}} = \frac{3}{12(2 + \sqrt{3})} = \frac{1}{4(2 + \sqrt{3})} $.
В результате числитель стал равен 1, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{1}{8 + 4\sqrt{3}} $.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение, то есть на $ 2 + 3\sqrt{6} $.
$ \frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{(2 - 3\sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})}{\sqrt{6}(2 + 3\sqrt{6})} = \frac{2^2 - (3\sqrt{6})^2}{2\sqrt{6} + 3(\sqrt{6})^2} = \frac{4 - 9 \cdot 6}{2\sqrt{6} + 3 \cdot 6} = \frac{4 - 54}{2\sqrt{6} + 18} = \frac{-50}{2(9 + \sqrt{6})} = \frac{-25}{9 + \sqrt{6}} $.
В результате числитель стал равен -25, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{-25}{9 + \sqrt{6}} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}} $ (при $ x > 0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ x - \sqrt{7x} $.
$ \frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}} = \frac{(x + \sqrt{7x})(x - \sqrt{7x})}{7\sqrt{x}(x - \sqrt{7x})} = \frac{x^2 - (\sqrt{7x})^2}{7x\sqrt{x} - 7\sqrt{x}\sqrt{7x}} = \frac{x^2 - 7x}{7x\sqrt{x} - 7\sqrt{7x^2}} = \frac{x(x - 7)}{7x(\sqrt{x} - \sqrt{7})} = \frac{x - 7}{7(\sqrt{x} - \sqrt{7})} $.
В результате числитель $ x-7 $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{x - 7}{7(\sqrt{x} - \sqrt{7})} $.

5) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $ (при $ a>0, b>0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ a\sqrt{b} + b\sqrt{a} $.
$ \frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a\sqrt{b} - b\sqrt{a})(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})}{\sqrt{ab}(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})} = \frac{(a\sqrt{b})^2 - (b\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}\sqrt{b}(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})} = \frac{a^2b - b^2a}{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}} = \frac{ab(a - b)}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.
В результате числитель $ a-b $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.

6) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $ (при $ y>0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ y - b\sqrt{y} $.
$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y + b\sqrt{y})(y - b\sqrt{y})}{b\sqrt{y}(y - b\sqrt{y})} = \frac{y^2 - (b\sqrt{y})^2}{by\sqrt{y} - b^2(\sqrt{y})^2} = \frac{y^2 - b^2y}{by\sqrt{y} - b^2y} = \frac{y(y - b^2)}{by(\sqrt{y} - b)} = \frac{y-b^2}{b(\sqrt{y} - b)} $.
В результате числитель $ y-b^2 $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{y-b^2}{b(\sqrt{y} - b)} $.